Comportamento di 2 Serie

[lancilotto]

Ragazzi mi potete dare una mano per determinare
il comportamento di queste 2 serie?:
1)
$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^2+\sqrt{n}+1}(\frac{n+1}{n+2})^n^{2} $
2)
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4^n}(\frac{n^2}{n^2+1})^n^3 $

Ringrazio e saluto tutti!

[Marco]

La (2) si vede a occhio: il termine generico è positivo e la serie si maggiora con la serie geometrica di ragione 1/4, quindi è convergente.

[Poeth]

Non so se può aiutare ma fai conto che nella 1)

$ (\frac{n+1}{n+2})^n^{2} = (\frac{n+1+1-1}{n+2})^n^{2} = (1-\frac{1}{n+2})^n^{2} $
(che poi tende a 1 con n tendente a infinito.)

[marcox^^]

che poi tende a 1 con n tendente a infinito

Veramente mi sembra che tenda a 0, con ordine di infinitesimo maggiore di 2; quindi, dato che l'altra parte della successione, all'infinito è un infinitesimo di ordine 1, se non sbaglio la serie converge.

[Poeth]

$ (1-\frac{1}{n+2})^n^{2} $ tende a 1 con n tendente ad infinito

perchè
$ (\frac{1}{n+2})^n^{2} $ tende a 0 e 1 elevato a qualsiasi potenza è 1

[EvaristeG]

poeth ... non funziona : altrimenti con lo stesso ragionamento avresti $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1} $ mentre quel limite è maggiore di 2 (fa e=2.7....).

Piuttosto ...
$ n/(n^2+\sqrt{n}+1)\sim 1/n $
$ \displaystyle{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{-(n+2)(-n^2)/(n+2)}\sim e^{-n}} $
e quindi per confronto asintotico la serie ha lo stesso comportamento di $ \sum (ne^n)^{-1} $ che converge... a meno che io non sia completamente rincoglionito per il troppo studio.

[Poeth]

ah già che scemo non ho considerato che la potenza influenza tutta la parentesi xD chiedo scusa cmq non sono ancora convinto di marcoxx :O

[marcox^^]

Di cosa non sei convinto? Il mio ragionamento è stato lo stesso di EvaristeG (anche se non ho messo le formule perchè non so usare il latex ), quindi, a meno che lo studio non abbia nuociuto troppo a entrambi..
Se ciò che non ti torna è le parole "infinitesimo maggiore di 2", l'ho scritto per non sprecare troppe parole.

[Poeth]

non capisco perchè dici che tende a 0 la funzione

[marcox^^]

Allora, hai detto di essere d'accordo con quanto detto da EvaristeG, quindi concordi il fatto che la funzione, all'infinito sia circa uguale a e^(-n), ok? A questo punto, puoi concludere che essa tende a 0 in quanto e^(-n) = 1/e^n tende a 0 per n che tende a infinito (il rapporto tra 1 e qualcosa che tende a infinito, tende a 0).
Tutto chiaro ora?

[Poeth]

ah si
quando avevi risposto avevo guardato la prima equazione di evariste e non capivo il nesso XD
Perdonatemi, mi sto rincorbellendo