OliForum Matematico

Ragazzi mi potete dare una mano per determinare
il comportamento di queste 2 serie?:
1)
$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^2+\sqrt{n}+1}(\frac{n+1}{n+2})^n^{2} $
2)
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4^n}(\frac{n^2}{n^2+1})^n^3 $

Ringrazio e saluto tutti!

La (2) si vede a occhio: il termine generico è positivo e la serie si maggiora con la serie geometrica di ragione 1/4, quindi è convergente.

Non so se può aiutare ma fai conto che nella 1)

$ (\frac{n+1}{n+2})^n^{2} = (\frac{n+1+1-1}{n+2})^n^{2} = (1-\frac{1}{n+2})^n^{2} $
(che poi tende a 1 con n tendente a infinito.)

Poeth ha scritto:che poi tende a 1 con n tendente a infinito

Veramente mi sembra che tenda a 0, con ordine di infinitesimo maggiore di 2; quindi, dato che l'altra parte della successione, all'infinito è un infinitesimo di ordine 1, se non sbaglio la serie converge.

$ (1-\frac{1}{n+2})^n^{2} $ tende a 1 con n tendente ad infinito

perchè
$ (\frac{1}{n+2})^n^{2} $ tende a 0 e 1 elevato a qualsiasi potenza è 1

poeth ... non funziona : altrimenti con lo stesso ragionamento avresti $ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1} $ mentre quel limite è maggiore di 2 (fa e=2.7....).

Piuttosto ...
$ n/(n^2+\sqrt{n}+1)\sim 1/n $
$ \displaystyle{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{-(n+2)(-n^2)/(n+2)}\sim e^{-n}} $
e quindi per confronto asintotico la serie ha lo stesso comportamento di $ \sum (ne^n)^{-1} $ che converge... a meno che io non sia completamente rincoglionito per il troppo studio.

ah già che scemo non ho considerato che la potenza influenza tutta la parentesi xD chiedo scusa cmq non sono ancora convinto di marcoxx :O

Di cosa non sei convinto? Il mio ragionamento è stato lo stesso di EvaristeG (anche se non ho messo le formule perchè non so usare il latex ), quindi, a meno che lo studio non abbia nuociuto troppo a entrambi..
Se ciò che non ti torna è le parole "infinitesimo maggiore di 2", l'ho scritto per non sprecare troppe parole.

non capisco perchè dici che tende a 0 la funzione

Allora, hai detto di essere d'accordo con quanto detto da EvaristeG, quindi concordi il fatto che la funzione, all'infinito sia circa uguale a e^(-n), ok? A questo punto, puoi concludere che essa tende a 0 in quanto e^(-n) = 1/e^n tende a 0 per n che tende a infinito (il rapporto tra 1 e qualcosa che tende a infinito, tende a 0).
Tutto chiaro ora?

ah si
quando avevi risposto avevo guardato la prima equazione di evariste e non capivo il nesso XD
Perdonatemi, mi sto rincorbellendo