ItaMO 2006 / 4

[Ani-sama]

Su una scacchiera infinita i numeri positivi sono scritti in ordine lungo una spirale: si parte da $ $1$ $ e si procede allargandosi girando in senso antiorario, come in figura.



Chiamiamo "semiretta destra" della scacchiera l'insieme delle caselle formato da una casella $ $C$ $ e da tutte le caselle che si trovano nella riga di $ $C$ $ e a destra di $ $C$ $

(a) Dimostrare che esiste una semiretta destra le cui caselle non contengono numeri multipli di $ $3$ $.

(b) Determinare se esistono infinite semirette destre, a 2 a 2 disgiunte, le cui caselle non contengono numeri multipli di $ $3$ $.

[herbrand]

Sì, mi sembrano infinite. (tutte le semirette a destra di numeri della forma $ (6k+1)^2 $)