[Ineqs] Sbirciando i TST altrui...

[edriv]

Prima.
TST della Lituania, 2006:
$ \displaystyle a_1+\ldots+a_n=1 $
$ \displaystyle \frac{a_1^2} {a_1+a_2} + \frac{a_2^2} {a_2+a_3} + \ldots + \frac{a_n^2} {a_n+a_1} \ge \frac 12 $

Seconda.
TST della Francia, 2006:
$ \displaystyle abc=1 $
$ \displaystyle \frac a {(a+1)(b+1)} + \frac b {(b+1)(c+1)} + \frac c {(c+1)(a+1)} \ge \frac 34 $

Terza.
TST della Turchia, 2006:
$ \displaystyle xy+yz+zx=1 $
$ \displaystyle \frac {27}4 (x+y)(y+z)(z+x) \ge (\sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x})^2 \ge 6\sqrt 3 $

(si intende $ \displaystyle x,y,z \in \mathbb{R}^+ $)

[pic88]

la prima

prima: CS su (a1/rad(a1+a2);...;an/rad(an+a1)) e (rad(a1+a2);....;rad(an+a1))
dà 2LHS>=1

[hydro]

provo la seconda, supponendo $ a,b,c>0 $

svolgendo i conti diventa

$ \displaystyle 4 \left ( \sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a \right ) \ge 3 \left ( \sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a+2 \right ) $$ \displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{cyc}ab+\sum_{cyc}a \ge 6 $

che è vera per AM-GM, essendo $ abc=1 $

[pic88]

la terza.

mettendo il vincolo $ LHS=\frac{27}4(x+y+z-xyz) $.

la concavità della funizone radice implica:
$ \[ CHS \leqslant \left( {3\sqrt {\frac{2} {3}(x + y + z)} } \right)^2 = 6\left( {x + y + z} \right) \] $

spero che accada [1]: $ LHS\geqslant6(x+y+z) $ ovvero che
$ 27(x+y+z-xyz)\geqslant24(x+y+z) $ Cioò accade: infatti dal vincolo e dalla AM-GM ho che il massimo di GM(x,y,z) è
$ \[ \frac{1} {{3\sqrt 3 }} \] $

pertanto GM >= 3xyz, da cui AM>=3xyz e poi
3(x+y+z)-27xyz=9AM-27xyz>=0 che è la [1] ed implica CHS<=LHS.
EDIT: resta da dimostrare l'ultima parte

[edriv]

pic88, mi hai fatto prendere paura
Infatti per concludere la turca (CHS >= RHS) ci ho messo ben più di una riga... tu hai dimostrato che $ CHS \ge \frac 6 {\sqrt 3} = 2 \sqrt 3 $, ma servono altre quattro radici di 3 per finire.

[pic88]

...ora vedo di riparare

[Simo_the_wolf]

Per il secondo: sostituzione $ a=x/y $ , $ b=y/z $ , $ c=z/x $.

La disuguaglianza diventa:

$ \displaystyle \sum \frac {xz}{(x+y)(y+z)} \geq \frac 34 $

Ma per CS abbiamo:

$ \displaystyle \left( \sum (xz)(y^2+xy+zx+yz) \right) \left( \sum \frac {xz}{(x+y)(y+z)} \right) $ $ \geq (xy+yz+zx)^2 $

Ci resta ora da dimostrare $ 4(xy+yz+zx)^2 \geq 3(\sum ( x^2z^2 + x^2yz+xy^2z+xyz^2) $

Sviluppando ed elidendo rimane $ x^2y^2 + y^2z^2+z^2x^2 \geq x^2yz+xy^2z+xyz^2 $ che è verra per un po' tutte le disuguaglianze del mondo...

[edriv]

La seconda viene anche in questo modo.
Sostituisco $ c = \frac 1 {ab} $

La disuguaglianza si trasforma in:
$ \frac a {(a+1)(b+1)} + \frac {ab^2}{(b+1)(ab+1)} + \frac 1 {(a+1)(ab+1)} \ge \frac 34 $

Togliendo i denominatori e facendo tutti i conti resta:
$ a^2b^2 + a^2b+ab^2+a+b+1 \ge 6ab $

... e questo come si dimostra?
Con una semplice AM-GM su tutto!

[pic88]

la seconda parte della turca.

il valore minimo dell'espressione

$ \[ \sqrt {2x} + \sqrt {2y} + \sqrt {2z} \] $ si ha quando i termini sono uguali, ovvero $ \displaystyle x=y=z=\frac1{\sqrt3} $.
tale minimo è $ \displaystyle3\sqrt{\frac{2}{\sqrt3}} $.

Per la concavità della funzione radice si ha:
$ \[ \sqrt {2x} + \sqrt {2y} \leqslant 2\sqrt {x + y} \] $

dunque, sommando diversi termini:
$ \[ \left( {\sqrt {x + y} + \sqrt {y + z} + \sqrt {z + x} } \right)^2 \geqslant \left( {\sqrt {2x} + \sqrt {2y} + \sqrt {2z} } \right)^2 \geqslant \left( {3\sqrt {\frac{2} {{\sqrt 3 }}} } \right)^2 \] $$ =6\sqrt3 $

[edriv]

la seconda parte della turca.

il valore minimo dell'espressione

$ \[ \sqrt {2x} + \sqrt {2y} + \sqrt {2z} \] $ si ha quando i termini sono uguali

humm.. e questo come si dimostra?

[pic88]

allora.... per MacLaurin ho:

$ \[ \sqrt {2x} + \sqrt {2y} + \sqrt {2z} \geqslant 3\sqrt {\frac{{2\left( {\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} } \right)}} {3}} \geqslant 3\sqrt {\frac{{2(xy + yz + zx)}} {3}} \] $$ =3\sqrt{\frac{2}3} $
EDIT: non basta

[edriv]

Comunque non è finita qui... nell'ultimo post infatti non si è dimostrato che quella funzione assume il valor minimo con l'uguaglianza.

[pic88]

la seconda parte della turca:
avendo dimostrato nella prima parte che
$ (x+y+z)\geqslant 9xyz $
si ha che
$ (x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z-xyz)\geqslant \frac{8}9(x+y+z) $

combinando AM>=GM con questa abbiamo

$ \displaystyle\ CHS\geqslant 9\sqrt[3]{{(x + y)(y + z)(z + x)}} $ $ \geqslant 9 \sqrt[3]{{\frac{8} {9}\left( {x + y + z} \right)}} $ $ \geqslant 9\sqrt[3]{{\frac{8} {9}\sqrt {3\left( {xy + yz + zx} \right)} }} = 6\sqrt 3 $