Le 45 candele

[Prometeo]

Ci sono 45 candele che si bruciano completamente in 1 ora ma non in modo lineare. Si vogliono misurare 45 minuti

[pic88]

è possibile accendere una candela da entrambi gli estremi?

[edriv]

Ne bastano due.
Accendo la prima candela.
Accendo anche la seconda, ma sia in alto sia in basso.
Quando la seconda candela sarà consumata, sarà passata esattamente mezz'ora. Quindi la parte rimanente della prima candela dovrebbe durare mezz'ora. Ma se adesso la accendo anche dall'altra parte, si consumerà in un quarto d'ora.

Con questo metodo, quando avrò esattamente 43 candele, saranno passati 45 minuti.

Dimostrare che, con sufficienti candele, possiamo andare arbitrariamente vicini a 4/3 di ora.

[Prometeo]

è possibile accendere una candela da entrambi gli estremi?

si è possibile

[pic88]

ok, la mia soluzione sarebbe stata come quella di edriv....

Dimostrare che, con sufficienti candele, possiamo andare arbitrariamente vicini a 4/3 di ora.

basta dimostrare che si può andare vicini a 1/3 di ora....
con n candele andiamo a 1/(2^n) di ora;
ora, ogni numero minore di 1 si può approssimare di quanto vogliamo con somma di potenze di 1/2...

[edriv]

Allora, in via definitiva:
Sia $ X \subseteq \mathbb{R}^+ $ l'insieme di tutte le 'durate di tempo' che possiamo misurare esattamente con un numero arbitrariamente grande di candele.

Trovare l'insieme di reali positivi che non sono punti di accumulazione di X, cioè quelli che non possiamo approssimare con una precisione arbitraria.

(Io non l'ho risolto, magari è un casino... però attenti: non possiamo approssimare 20 minuti e neanche 40...)