non so se è giusto postare qui, ma non essendo olimpica per non metterla nella problem solving...
a casa ho 1 ottaedro e 1 tetraedo regolari di lati uguali. Ho provato a sovrapporre i 2 solidi in modo da far coincidere 1 triangolo dell'ottaedro con 1 triangolo del tetraedro. A questo punto i piani giacenti su 1 triangolo dell'ottaedro e su 1 triangolo del tetraedro sembravano "allineati" (lo stesso piano). Mi sono chiesto se fosse vero: calclolato gli angoli si avrebbe:
2atan(2^0,5)+atan(2*2^0,5)=180 gradi. Ho controllato alla calcolatrice e questa formula sembrava giusta.
C'è qualcuno che mi può dimostrare (o smentire) questa formula o semolicemente il fatto che i 2 piani costituiscono 1 unico piano?
tetraedi, ottaedri: piani allineati
Guarda, non sto a spostare il tutto in geometria o in algebra, ma cmq non è così non elementare il dimostrare quella formula ... ma ci sono strade migliori : tu stesso hai calcolato le tangenti delle metà degli angoli diedri dei due solidi (gli angoli tra due facce)
$ \tan(2a)=2\tan(a)/(1-\tan^2(a)) $
quindi l'angolo diedro del tetraedro ha tangente $ \sqrt{2}/(1-1/2)=2\sqrt{2} $ e l'angolo diedro dell'ottaedro $ 2\sqrt{2}/(1-2)=-2\sqrt{2} $; quindi i due angoli sono supplementari. Quindi, sì, quelle due facce stanno sullo stesso piano (oppure altre due sono parallele, fai tu).
$ \tan(2a)=2\tan(a)/(1-\tan^2(a)) $
quindi l'angolo diedro del tetraedro ha tangente $ \sqrt{2}/(1-1/2)=2\sqrt{2} $ e l'angolo diedro dell'ottaedro $ 2\sqrt{2}/(1-2)=-2\sqrt{2} $; quindi i due angoli sono supplementari. Quindi, sì, quelle due facce stanno sullo stesso piano (oppure altre due sono parallele, fai tu).
Ok. Lo sposto io. M.
E' un fatto piuttosto noto che si può tassellare lo spazio con tetraedri ed ottaedri. Giusto per fare un esempio concreto, la struttura cristallina del diamante è proprio fatta in quel modo.
Per dimostrarlo in modo "olimpico" puoi fare così: prendiamo un tetredro unitario regolare e stabiliamo, giusto per fissare le idee, un riferimento affine, chiamando $ O, A, B, C $ i vertici. Ora affianchiamo al tetraedro iniziale altri tre tetraedri identici, traslati di OA, OB e OC rispettivamente. I vertici saranno in
A, 2A, A+B, A+C [secondo tetraedro]
B, A+B, 2B, B+C [terzo t.edro]
C, A+C, B+C, 2C [quarto t.edro]
Ok. Ora vediamo quale "buco" circondano (come si vedrà, risulterà un ottaedro). Se riesci a visualizzarti la figura, scopriarai che il "buco" altro non è che l'inviluppo convesso dei punti
A, B, C, A+B, A+C, B+C.
Ora, non è affatto difficile vedere che tutti gli spigoli così generati [sono 12 in tutto] sono tutti unitari: la figura e zeppa di simmetrie e triangoli equilateri. Ne segue che l'affare in mezzo è un solido con 6 vertici, 12 spigoli uguali e 8 facce a forma di triangolo equilatero. E' per forza di cose un ottaedro.
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Una volta che hai la tassellatura dello spazio, verificare che adiacendo un tetraedro e un ottaedro ottieni facce complanari è immediato.
E' un fatto piuttosto noto che si può tassellare lo spazio con tetraedri ed ottaedri. Giusto per fare un esempio concreto, la struttura cristallina del diamante è proprio fatta in quel modo.
Per dimostrarlo in modo "olimpico" puoi fare così: prendiamo un tetredro unitario regolare e stabiliamo, giusto per fissare le idee, un riferimento affine, chiamando $ O, A, B, C $ i vertici. Ora affianchiamo al tetraedro iniziale altri tre tetraedri identici, traslati di OA, OB e OC rispettivamente. I vertici saranno in
A, 2A, A+B, A+C [secondo tetraedro]
B, A+B, 2B, B+C [terzo t.edro]
C, A+C, B+C, 2C [quarto t.edro]
Ok. Ora vediamo quale "buco" circondano (come si vedrà, risulterà un ottaedro). Se riesci a visualizzarti la figura, scopriarai che il "buco" altro non è che l'inviluppo convesso dei punti
A, B, C, A+B, A+C, B+C.
Ora, non è affatto difficile vedere che tutti gli spigoli così generati [sono 12 in tutto] sono tutti unitari: la figura e zeppa di simmetrie e triangoli equilateri. Ne segue che l'affare in mezzo è un solido con 6 vertici, 12 spigoli uguali e 8 facce a forma di triangolo equilatero. E' per forza di cose un ottaedro.
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Una volta che hai la tassellatura dello spazio, verificare che adiacendo un tetraedro e un ottaedro ottieni facce complanari è immediato.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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MindFlyer
Sì, un modo ancora più immediato (secondo me) di vedere che le 2 facce sono complanari è questo:
immagina un ottaedro regolare A di spigolo unitario, e traslalo nell'ottaedro B che ha in comune con A esattamente uno spigolo. Le punte delle 2 "piramidi" che ottieni distano di 1, e questo ti permette di concludere che tra le 2 piramidi si può incastrare precisamente un tetraedro regolare.
La costruzione è proprio quella della tassellazione dello spazio, ma qui c'è lo stretto necessario per risolvere il tuo problema.
immagina un ottaedro regolare A di spigolo unitario, e traslalo nell'ottaedro B che ha in comune con A esattamente uno spigolo. Le punte delle 2 "piramidi" che ottieni distano di 1, e questo ti permette di concludere che tra le 2 piramidi si può incastrare precisamente un tetraedro regolare.
La costruzione è proprio quella della tassellazione dello spazio, ma qui c'è lo stretto necessario per risolvere il tuo problema.