Esercizzi

[quantico]

Problema 1
Dati nel piano n>2 punti non tutti allineati si dimostri che esiste almeno una retta che ne contiene esattamente 2

Problema 2
Si consideri un triangolo qualsiasi di vertici A B C. Si indichino rispettivamente con H K L i piedi delle altezze emanate dai vertici A B C rispettivamente.
Dimostrare che le altezze AH BK CL sono anche le bisettrici interne del triangolo HKL


scusatemi se è gia stato postato da altri

[pic88]

Problema 1
Costruiamo tutte le rette possibili. Esse sono al massimo $ \displaystyle\ \frac{n(n-1)}2 $ (quando non ci sono punt allineat a 3 a 3, ed in tal caso la tesi è vera) e al minimo $ n $ (se tutti i punti tranne uno sono allineati: una retta r passa per n-1 punti e altre n-1 rette congiungono il punto esterno a r con ciascuno degli altri). in tal caso, ogni retta contiene in media:

$ \displaystyle \frac{(n-1)+2(n-1)}n=\frac{3n-3}n<3 $ e dunque non potranno contenere tutte più di 2 elementi

Problema 2 (molto nota è la seguente dimostrazione)

In figura l'angolo in A è complementare dei seguenti angoli:
ABK e ACL.

ne segue che ABK=ACL;

il quadrilatero HOLB (dove O è l'ortocentro, mi sono scordato di scriverlo..) è ciclico: si può inscrivere in una circonferenza perchè ha 2 angoli opposti entrambi retti e quindi supplementari.

Quindi ABK=LHA perchè insistono sullo stesso arco;

analogamente ACL=KHA
ripetendo il ragionamento per gli altri angoli completi la dimostrazione

[mattilgale]

forse non ho capito bene, per il problema 1, ma non mi pare tu abbia dimostrato che la media delle altre configurazioni sia sempre <3, te hai solo dimostrato che per quella configurazione M<3... ma come lo dimostri che quella configurazione ha la media minore?