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Problema 1
Dati nel piano n>2 punti non tutti allineati si dimostri che esiste almeno una retta che ne contiene esattamente 2

Problema 2
Si consideri un triangolo qualsiasi di vertici A B C. Si indichino rispettivamente con H K L i piedi delle altezze emanate dai vertici A B C rispettivamente.
Dimostrare che le altezze AH BK CL sono anche le bisettrici interne del triangolo HKL


scusatemi se è gia stato postato da altri

Problema 1
Costruiamo tutte le rette possibili. Esse sono al massimo $ \displaystyle\ \frac{n(n-1)}2 $ (quando non ci sono punt allineat a 3 a 3, ed in tal caso la tesi è vera) e al minimo $ n $ (se tutti i punti tranne uno sono allineati: una retta r passa per n-1 punti e altre n-1 rette congiungono il punto esterno a r con ciascuno degli altri). in tal caso, ogni retta contiene in media:

$ \displaystyle \frac{(n-1)+2(n-1)}n=\frac{3n-3}n<3 $ e dunque non potranno contenere tutte più di 2 elementi

Problema 2 (molto nota è la seguente dimostrazione)

In figura l'angolo in A è complementare dei seguenti angoli:
ABK e ACL.

ne segue che ABK=ACL;

il quadrilatero HOLB (dove O è l'ortocentro, mi sono scordato di scriverlo..) è ciclico: si può inscrivere in una circonferenza perchè ha 2 angoli opposti entrambi retti e quindi supplementari.

Quindi ABK=LHA perchè insistono sullo stesso arco;

analogamente ACL=KHA
ripetendo il ragionamento per gli altri angoli completi la dimostrazione

forse non ho capito bene, per il problema 1, ma non mi pare tu abbia dimostrato che la media delle altre configurazioni sia sempre <3, te hai solo dimostrato che per quella configurazione M<3... ma come lo dimostri che quella configurazione ha la media minore?