Spero possiate essermi di aiuto.Grazie.
Aiuto su esercizio algebra
-
darkside.mc
- Messaggi: 2
- Iscritto il: 18 lug 2006, 19:39
Aiuto su esercizio algebra
Non avendo la possibilità di installare il Latex,inserisco sotto forma di immagine la scannerizzazione di questo esercizio.
Spero possiate essermi di aiuto.Grazie.
Spero possiate essermi di aiuto.Grazie.
Innanzitutto benvenuto.
1) non c'è bisogno di installare latex ... basta saperlo usare e poi inserire nel tuo messaggio una cosa come
per ottenere
$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $
2) ti invito a leggere, se non l'hai già fatto, le regole del forum e l'altro materiale informativo per i nuovi iscritti che si trova nella sezione comitato di accoglienza.
3) spero che tu non abbia problemi per la linearità di quell'applicazione : discende immediatamente dal fatto che il prodotto tra matrici è distributivo sulla somma e commuta con la moltiplicazione per scalare
4) per gli autovalori e autovettori ...
$ \phi_A(X)=A\cdot X=\lambda X $
scriviamo
$ X=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right) $
quindi
$ \phi_A(X)=\left(\begin{array}{ccc}a+2d&b+2e&c+2f\\0&0&0\end{array}\right) $
da cui i due casi:
*)se $ \lambda\neq 0 $
$ \left\{\begin{array}{ccc}a+2d&=&\lambda a\\b+2e&=&\lambda b\\c+2f&=&\lambda c\\d=e=f&=&0\end{array}\right. $
da cui $ a=\lambda a,\ b=\lambda b,\ c=\lambda c,\ d=e=f=0 $ e dunque $ \lambda=1 $ (se X non è la matrice nulla).
Quindi l'unico autovalore non nullo è 1, con gli autovettori
$ \left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\0&0&0\end{array}\right)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\} $ (sottospazio di dim 3 delle matrici 2x3)
*)se invece $ \lambda=0 $
$ \left\{\begin{array}{ccc}a+2d&=&0\\b+2e&=&0\\c+2f&=&0\end{array}\right. $
non ci sono condizioni su d,e,f perché diventano del tipo 0=0.
Quindi gli autovettori sono
$ \left\{\left(\begin{array}{ccc}-2d&-2e&-2f\\d&e&f\end{array}\right)\mid d,e,f\in\mathbb{R}\right\} $ (sottospazio di dim 3 delle matrici 2x3, ortogonale al precedente)
Quindi puoi addirittura scrivere una base di autovettori per la tua applicazione
$ \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}-2&0&0\\1&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&-2&0\\0&1&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&0&-2\\0&0&1\end{array}\right) $
1) non c'è bisogno di installare latex ... basta saperlo usare e poi inserire nel tuo messaggio una cosa come
Codice: Seleziona tutto
[tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex]$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $
2) ti invito a leggere, se non l'hai già fatto, le regole del forum e l'altro materiale informativo per i nuovi iscritti che si trova nella sezione comitato di accoglienza.
3) spero che tu non abbia problemi per la linearità di quell'applicazione : discende immediatamente dal fatto che il prodotto tra matrici è distributivo sulla somma e commuta con la moltiplicazione per scalare
4) per gli autovalori e autovettori ...
$ \phi_A(X)=A\cdot X=\lambda X $
scriviamo
$ X=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right) $
quindi
$ \phi_A(X)=\left(\begin{array}{ccc}a+2d&b+2e&c+2f\\0&0&0\end{array}\right) $
da cui i due casi:
*)se $ \lambda\neq 0 $
$ \left\{\begin{array}{ccc}a+2d&=&\lambda a\\b+2e&=&\lambda b\\c+2f&=&\lambda c\\d=e=f&=&0\end{array}\right. $
da cui $ a=\lambda a,\ b=\lambda b,\ c=\lambda c,\ d=e=f=0 $ e dunque $ \lambda=1 $ (se X non è la matrice nulla).
Quindi l'unico autovalore non nullo è 1, con gli autovettori
$ \left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\0&0&0\end{array}\right)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\} $ (sottospazio di dim 3 delle matrici 2x3)
*)se invece $ \lambda=0 $
$ \left\{\begin{array}{ccc}a+2d&=&0\\b+2e&=&0\\c+2f&=&0\end{array}\right. $
non ci sono condizioni su d,e,f perché diventano del tipo 0=0.
Quindi gli autovettori sono
$ \left\{\left(\begin{array}{ccc}-2d&-2e&-2f\\d&e&f\end{array}\right)\mid d,e,f\in\mathbb{R}\right\} $ (sottospazio di dim 3 delle matrici 2x3, ortogonale al precedente)
Quindi puoi addirittura scrivere una base di autovettori per la tua applicazione
$ \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}-2&0&0\\1&0&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&-2&0\\0&1&0\end{array}\right) $$ \left(\begin{array}{ccc}0&0&-2\\0&0&1\end{array}\right) $
-
darkside.mc
- Messaggi: 2
- Iscritto il: 18 lug 2006, 19:39
Ciao,ho esaminato insieme ad un amico i passaggi che hai effettuato,ma ancora non ci è chiara qualcosa.
Il sistema di equazioni da dove ricavi gli autovalori viene fuori dal polinomio caratteristico della matrice ottenuta dalla moltiplicazione della matrice A per una matrice 2x3 con elementi a,b,c,d,e,f??
Sbaglio o la stringa "[unparseable or potentially dangerous latex formula]" è un codice latex andato in errore?
perchè consideri il caso lambda diverso da zero?
P.S. Forse abbiamo le idee un pò confuse
Grazie per le eventuali risposte che darai o darete.
Il sistema di equazioni da dove ricavi gli autovalori viene fuori dal polinomio caratteristico della matrice ottenuta dalla moltiplicazione della matrice A per una matrice 2x3 con elementi a,b,c,d,e,f??
Sbaglio o la stringa "[unparseable or potentially dangerous latex formula]" è un codice latex andato in errore?
perchè consideri il caso lambda diverso da zero?
P.S. Forse abbiamo le idee un pò confuse
Grazie per le eventuali risposte che darai o darete.
-
MindFlyer
Hmm allora ... per il calcolo di autovalori e autovettori, in questo caso, non conviene fare alcun polinomio caratteristico : lo spazio delle matrici 2x3 ha dimensione 6, quindi un'eventuale applicazione lineare da lui in sè sarebbe una matrice di 36 elementi, il cui determinante risulterebbe un po' complicato.
Ho semplicemente risolto
$ \phi_A(X)=\lambda X $
scrivendolo componente per componente ... in fondo gli autovalori e autovettori sono i lambda e gli X per cui questa equazione ha soluzioni.
Distinguo il caso lambda diverso da zero da quello lambda=0 perchè mi serve dividere per lambda per dire (nel primo caso) che d=e=f=0.
Ho semplicemente risolto
$ \phi_A(X)=\lambda X $
scrivendolo componente per componente ... in fondo gli autovalori e autovettori sono i lambda e gli X per cui questa equazione ha soluzioni.
Distinguo il caso lambda diverso da zero da quello lambda=0 perchè mi serve dividere per lambda per dire (nel primo caso) che d=e=f=0.