Disuguaglianze strette

[Simo_the_wolf]

$ x,y,z \in R^+ $, $ d=\max\{x,y,z\} - min\{x,y,z\} $

Dimostrare che:

1) $ \displaystyle 1 < \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} < 2 $

2) $ \displaystyle \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} \leq \frac 32 + \frac {d^3}{64xyz} $

[MindFlyer]

2) $ \displaystyle \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} < \frac 32 + \frac {d^3}{64xyz} $

Questa è falsa per x=y=z.

[MindFlyer]

1) $ \displaystyle 1 < \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} < 2 $

$ \displaystyle \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} > \frac y{x+y+z} + \frac z{x+y+z} + \frac x{x+y+z} = 1 $.

L'espressione è ciclica rispetto a x,y,z e perciò possiamo supporre wlog che x sia il massimo.

Allora $ \displaystyle x\geq z \implies x+y\geq y+z \implies \frac 1{x+y} \leq \frac 1{y+z} \implies \frac y{x+y} \leq \frac y{y+z} $

$ \displaystyle \implies \frac y{x+y} \leq 1 - \frac z{y+z} \implies \frac y{x+y} + \frac z{y+z} \leq 1 $.

Ma anche $ \displaystyle x<z+x \implies \frac x{z+x}<1 $.

Sommando membro a membro, $ \displaystyle \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} < 1 + 1 $.

[Simo_the_wolf]

2) $ \displaystyle \frac y{x+y} + \frac z{y+z} + \frac x{z+x} < \frac 32 + \frac {d^3}{64xyz} $

Questa è falsa per x=y=z.

Già scusa... mi ero dimenticato del caso $ x=y=z $ ...

[frengo]

ehm....non vorrei tradire la mia reputazione di "pragmatico"....

allora:

$ \displaystyle \frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\leq\frac{3}{2}+\frac{d^3}{64xyz} $

$ 64xyz\sum\limits_{cycl}y(z+y)(z+x)\leq(96xyz+d^3)(x+y)(y+z)(z+x) $


$ 64\sum\limits_{sym}x^3y^2z+64\sum\limits_{cycl}x^3z^2y+192x^2y^2z^2 $$ \leq96\sum\limits_{sym}x^3y^2z+192x^2y^2z^2+d^3(x+y)(y+z)(z+x) $

$ 32\sum\limits_{cycl}x^3y^2z-x^3z^2y\leq d^3(x+y)(y+z)(z+x) $

$ 32xyz(x-z)(y-x)(z-y)\leq d^3(x+y)(y+z)(z+x) $

per i casi $ x\geq z\geq y $ e ciclici la disuguaglianza è ovvia ($ -\leq+ $)

rimangono i casi $ x\geq y\geq z $ e ciclici, per cui wlog assumo $ x\geq y\geq z $, quindi $ d=x-z $.

$ 32xyz(x-z)(x-y)(y-z)\leq (x-z)^3(x+y)(y+z)(z+x) $

$ [(x-y)+(y-z)]^2(x+y)(y+z)(z+x)\geq32xyz(x-y)(y-z) $

$ \displaystyle \frac{[(x-y)+(y-z)]^2}{4(x-y)(y-z)}\cdot\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8xyz}\geq 1 $

in cui ambedue le frazioni sono maggiori di uno per AM-GM.

ciao ciao