Le monete antiche

[Piera]

Un nonno volle regalare un certo numero di monete antiche ai suoi tre figli e dieci nipoti. Decise che ogni nipote avrebbe avuto tante monete quanti erano i suoi fratelli o sorelle e che le rimanenti sarebbero state divise equamente tra i tre figli. Venuti a conoscenza del metodo seguito, alcuni nipoti sottolinearono l'ingiustizia di una simile divisione. Per evitare lamentele, ognuno dei tre padri distribui' tutte le monete avute tra i propri figli e cosi' facendo ogni nipote ricevette lo stesso numero di monete.
Quante potevano essere le monete regalate dal nonno? Sapreste determinare tutte le possibili soluzioni?

[enomis_costa88]

Avrei un paio di domande sul testo..

1) Sia Antonio un figlio del nonno.
Se Antonio ha $ a $figli allora durante la prima distribuzione ciascun figlio di Antonio riceve tante monete quanti sono i suoi fratelli..
Ovvero $ a-1 $ (o $ a $ ovvero la relazione essere fratello di è riflessiva?)?

2) Un figlio del nonno può avere 0 figli?

[enomis_costa88]

Provo a risolvere il problema supponendo che la risposta alla prima domanda sia $ a-1 $ (ovvero la relazione "essere fratello di" non è riflessiva) e alla seconda sia no infatti:

ognuno dei tre padri distribui' tutte le monete avute tra i propri figli

Mi pare di interpretare correttamente se suppongo che ogni figlio del nonno abbia almeno un figlio (altrimenti non potrebbe distribuire).

Chiamo A B C i 3 figli del nonno.
I figli di A sono a.
I figli di B sono b.
I figli di C sono c.
Per ipotesi: $ a+b+c=10 $ con a,b,c interi positivi.
Sia n il numero di monete del nonno.

I figli di A avranno $ a-1 $ monete subito e $ \frac{n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1)}{3a} $ dopo che i tre padri hanno distribuito le loro monete equamente tra i loro figli.

I figli di B avranno invece $ b-1+ \frac{n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1)}{3b} $

I figli di C: $ c-1+ \frac{n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1)}{3c} $.

Se tutti i nipoti hanno la stessa quantità di monete allora vale la seguente (e cicliche):

$ b-1+ \frac{n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1)}{3b} $= $ a-1+ \frac{n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1)}{3a} $
(e cicliche) ovvero :
$ (b-a)=(b-a)\frac{n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1)}{3ab} $

Sia $ t=n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1) $

Quindi almeno una delle seguenti 2 è vera:
$ a=b; t=3ab $e ciclicamente almeno una per riga è vera:
$ b=c ; t=3bc $
$ c=a ; t=3ca $

Inoltre (principio dei cassetti) almeno in una colonna 2 uguaglianze sono vere.
Se sono vere 2 della prima colonna allora $ a=b=c=\frac{10}{3} $ che non è intero.
Quindi sono vere almeno (in realtà esattamente perchè altrimenti avrei a=b=c) due della seconda colonna.

WLOG $ t=3ab=3bc $ da cui $ a=c $ (che realizza quindi anche la "terza" uguaglianza).
$ 2a+b=10; b=10-2a $.

Quindi:
$ t=3ab=3a(10-2a)=n-a(a-1)-b(b-1)-c(c-1) $ $ =n-(2a(a-1)+(10-2a)(10-2a-1)) $
ovvero:
$ n=(2a(a-1)+(10-2a)(10-2a-1))+3a(10-2a) $
con a che va da 1 a 4.

e sostituendo ottengo n=80;70;60;50.