Se a^2+1 e b^2+1 sono primi e (a^2+1)(b^2+1) = c^2+1

[HiTLeuLeR]

Determinare ogni tripla (a,b,c) di interi tali che i) $ a^2+1 $ e $ b^2+1 $ siano primi e ii) $ (a^2+1)(b^2+1) = c^2+1 $.

[Santana]

Determinare ogni tripla (a,b,c) di interi tali che i) $ a^2+1 $ e $ b^2+1 $ siano primi e ii) $ (a^2+1)(b^2+1) = c^2+1 $.

Supponiamo siano vere le ipotesi e sia

$ p=a^2+1 $ e $ q=b^2+1 $

deve essere $ p \neq q $, consideriamo $ p,q $ dispari.
Abbiamo che $ c^2+1 $ è prodotto di due primi $ \equiv 1 \mod 4 $ e per tanto si può scrivere (a meno di segni e ordini) come somma di due quadrati in due soli modi differenti. I due modi differenti sono

$ (a-b)^2+(ab+1)^2 $

$ (a+b)^2+(ab-1)^2 $

dato che non potrà essere $ a+b=1 $ o $ ab-1=1 $ o $ ab+1=1 $ dovrà essere $ a-b=1 $ ma ciò è contro la disparità di $ p,q $.

Dato che non è $ p=2,q=2 $ allora a meno di permutazioni $ p=2 $ e $ q $ è dispari per cui $ c^2+1 $ si scrive come somma di quadrati in un modo solamente: $ (b-1)^2+(b+1)^2 $ e segue $ b=2 $.

In definitiva gli unici $ p,q $ possibili sono $ 2,5 $ e si verifica che questi soddisfano le condizioni.

[HiTLeuLeR]

Bene.

[mattilgale]

per tanto si può scrivere (a meno di segni e ordini) come somma di due quadrati in due soli modi differenti.

come si dimostra???

[HiTLeuLeR]

Qui alcuni riferimenti a tutta una serie di testi (più o meno classici) dove è possibile reperire la dimostrazione, Mattilgale. Consiglio l'Hardy&Wright (forse lo trovi anche sul mulo in pdf).