Dimostrare:
$
\gcd\left(\binom{n-1}{k-1},\binom{n}{k+1},\binom{n+1}{k}\right) = \gcd\left(\binom{n-1}{k},\binom{n+1}{k+1},\binom{n}{k-1}\right)
$
GCD sui binomiali
Per via dell'identità di Stiefel: i) $ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} $; ii) $ \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k+1} + \binom{n}{k} $; iii) $ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} $. Detti LHS ed RHS, rispettivamente, i membri sinistro e destro dell'identità che è chiesto dimostrare, siano quindi $ p\in \mathfrak{P} $ ed $ \alpha \in \mathbb{N} $. Supponiamo $ p^\alpha \mid \mbox{LHS} $. Allora $ p^\alpha \mid \binom{n+1}{k} $, e se $ \gcd(n+1,p) = 1 $, ne risulta che $ \alpha \le v_p\left(\binom{n+1}{k}\right) = $ $ v_p(n+1) - v_p(n+1-k) + v_p\left(\binom{n}{k}\right) $ $ \le v_p\left(\binom{n}{k}\right) $. Se invece p | (n+1), essendo che comunque $ p^\alpha \mid \binom{n-1}{k-1} $, si trova $ \alpha \le v_p \left(\binom{n-1}{k-1}\right) $ $ \le v_p(k) - v_p(n) + v_p\left(\binom{n}{k}\right) \le v_p\left(\binom{n}{k}\right) $, purché gcd(k,p) = 1. Se infine p | (n+1) e p | k, considerando ancora che $ p^\alpha \mid \binom{n}{k+1} $, è presto stabilito che $ \alpha \le v_p\left(\binom{n}{k+1}\right) = v_p(n-k) - v_p(k+1) + v_p\left(\binom{n}{k}\right) \le v_p\left(\binom{n}{k}\right) $, perché gcd(n-k,p) = 1. In ogni caso, perciò: $ p^\alpha \mid \mbox{LHS} $ $ \Longrightarrow $ $ p^\alpha \mid \binom{n}{k} $. In maniera del tutto analoga, $ p^\alpha \mid \mbox{RHS} $ $ \Longrightarrow $ $ p^\alpha \mid \binom{n}{k} $.
Tramite le relazioni i)-iii), questo dimostra che $ p^\alpha \mid \mbox{LHS} $ sse $ p^\alpha \mid \mbox{RHS} $, per cui necessariamente LHS = RHS.
Tramite le relazioni i)-iii), questo dimostra che $ p^\alpha \mid \mbox{LHS} $ sse $ p^\alpha \mid \mbox{RHS} $, per cui necessariamente LHS = RHS.