Tutti in piccionaia!

[Piera]

Utilizzando il principio della piccionaia dimostrare che esiste una potenza di 3 che termina per 001.

[HiTLeuLeR]

Per il principio della piccionaia, esistono due interi m, n = 1, 2, ..., 1001, con m minore di n, tali che $ 3^m $ e $ 3^n $ restituiscono lo stesso resto, se divisi per 1000. Allora $ 1000 \mid (3^n - 3^m) $, i.e. $ 3^{(n-m)k} \equiv 1 \bmod 1000 $, per ogni $ k \in \mathbb{N} $. Da qui la tesi, pur di scegliere un intero k > 0 sufficientemente grande perché sia $ 3^{(n-m)k} > 1000 $.

[Simo_the_wolf]

A little more difficult... dimostrare che esiste una potenza di tre che inizia con 100

[HiTLeuLeR]

A little more difficult... dimostrare che esiste una potenza di tre che inizia con 100

La successione $ a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots $ di termine generale $ a_n = \{n \alpha\} $, dove { } denota la mantissa del suo argomento, è densa in [0, 1] ogni volta che $ \alpha \in \mathbb{R} $ è irrazionale. Qualunque sia $ k \in \mathbb{N} $, esiste perciò $ n \in \mathbb{N} $, grande a piacere, tale che $ 0 < \{n\log_{10}3\} < 10^{-k} $, e anzi $ 3 \le \lfloor n \log_{10}3 \rfloor < n \log_{10}3 < \lfloor n \log_{10}3 \rfloor + 10^{-k} $. Perciò $ 10^3 \le 10^m < 3^n < 10^m \cdot 10^{10^{-k}} \le 10^m \cdot (1 + 10^{-k+1}) $. Da qui la tesi, scegliendo un k sufficientemente 'large'.

[Simo_the_wolf]

Più in generale, data una sequenza di cifre [ad esempio 12345] si può trovare una potenza di a tale che a non sia una potenza (razionale se vogliamo anche a reale) di 10 che inizi per quella sequenza di cifre.

Detto più formalemente: Data una sequenza di cifre, $ \forall a>1 $ t.c. $ log_{10} (a) \not \in Q $ esiste $ n \in N $ t.c. la rappresentazione decimale di $ a^n $ inizia per la sequenza di cifre data.

[HiTLeuLeR]

Idem - non più difficile dell'altro con il 3.

EDIT: forse passo troppo tempo sopra questo forum - ho appena toccato quota 1600 post.