Moolto carino....

[pi_greco_quadro]

Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che

$ 0<a^2+b^2-abc\leq c $

Si dimostri che

$ a^2+b^2-abc $ è un quadrato perfetto

[HiTLeuLeR]

...ma un titolo più espressivo no, eh!? :roll: Vabbè... Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che [1] $ 0 < a^2 + (a+1)^2 - a(a+1)c \le c $. Osserviamo che a = b $ \Longrightarrow $ c = 1 e b = a+1 $ \Longrightarrow $ c = 2. In entrambi i casi, vale $ a^2+b^2 - abc = 1 $, e la tesi è soddisfatta. Wlog, ammettiamo perciò per il seguito $ 0 < a \le b+2 $. Poniamo quindi $ \displaystyle R(x,y) = \frac{x^2+y^2}{xy+1} $, e osserviamo che $ R(x,y) > 2 $, se $ x,y $ sono interi tali che 0 < x < y+1. Diciamo quindi $ n = R(a,b) $, e definiamo ricorsivamente la successione $ \{(x_k, y_k)\}_{k \ge 0} $ assumendo $ x_0 = a $, $ y_0 = b $, $ x_{k+1} = y_k $ ed $ y_{k+1} = ny_k - x_k $. Evidentemente $ x_k < x_{k+1} $ ed $ y_k < y_{k+1} $, per ogni $ k \in \mathbb{N} $, poiché n > 2. Inoltre $ R(x_{k+1}, y_{k+1}) = R(x_k, y_k) = R(a,b) $. Senonché dalla [1]: $ \displaystyle\frac{ab}{ab+1}c < R(a,b) \le c $, e perciò (per induzione) $ \displaystyle \frac{x_k y_k}{x_k y_k +1}c < R(a,b) \le c $, qualunque sia $ k \in \mathbb{N} $. Poiché $ x_k y_k \to \infty $ per $ k \to \infty $, ne risulta $ R(a,b) = c $. Il resto qui.