Esistono infiniti n tali che n | sigma_k(n^q - 1)

[HiTLeuLeR]

Siano $ q, k \in \mathbb{N}^+ $ e $ \sigma_k(\cdot) $ la funzione che somma le potenze k-esime dei divisori interi positivi del suo argomento. Provare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $, n > 1, tali che $ n \mid \sigma_k(n^q - 1) $.

[Simo_the_wolf]

Frutto di un simposio Simo_the_Wolf feat. Santana:

si prenda un primo tale che $ (p,q)=1 $. Allora andrà bene
$ \displaystyle n_{(q,k)}= p^{k^2} + p^{k^2-k} + p ^ {k^2- 2k} + ... + p^k +1 = \dfrac {p^{k^2+k} -1 } {p ^k-1} $

[HiTLeuLeR]

[...] si prenda un primo tale che $ (p,q)=1 $. Allora andrà bene $ \displaystyle n_{(q,k)}= p^{k^2} + p^{k^2-k} + p ^ {k^2- 2k} + ... + p^k +1 = \dfrac {p^{k^2+k} -1 } {p^k-1} $

Ce lo dimostrate, che va bene?! O dobbiamo credervi sulla parola, mh?

[Santana]

[...] si prenda un primo tale che $ (p,q)=1 $. Allora andrà bene $ \displaystyle n_{(q,k)}= p^{k^2} + p^{k^2-k} + p ^ {k^2- 2k} + ... + p^k +1 = \dfrac {p^{k^2+k} -1 } {p^k-1} $

Ce lo dimostrate, che va bene?! O dobbiamo credervi sulla parola, mh?

Scelto $ n $ come sopra si avrà, $ n^q-1=(n-1)(n^{q-1}+n^{q-2}+...+1) $ ora $ p^k||n-1 $ e perciò $ n \equiv 1 \mod p $ da cui $ n^{q-1}+n^{q-2}+...+1 \equiv q \neq 0 \mod p $ per cui $ p^k||n^q-1 $ e $ \sigma_k(p^k)|\sigma_k(n^q-1) $ del resto si ha facilmente $ n|\sigma_k(p^k) $ anzi $ n=\sigma_k(p^k) $.

[HiTLeuLeR]

Ok.