Quadrati perfetti [SNS 1991-1992 / 3]

[Ani-sama]

Trovare il più piccolo intero $ $N_0 \geq 1$ $ con la proprietà che $ $N_0+1$ $ e $ $2N_0 + 1$ $ siano entrambi quadrati perfetti. Mostrare poi che ogni intero $ $N$ $ con questa proprietà è multiplo di $ $N_0$ $.

[pic88]

n deve essere multiplo di 3. Altrimenti, n+1 o 2n+1 danno resto 2 se divisi per 3 e questo esclude che siano quadrati. poi n deve essere multiplo di 8 per analoghe considerazioni. n=24 va bene, ed è il più piccolo.

[Ani-sama]

Sì, non era difficile.

Una volta ricavato $ $N_0=24$ $, si può anche ragionare così: ponendo $ $N+1=a^2$ $ e $ $2N+1=b^2$ $, ottieni, combinandoli, l'equazione $ $b^2-a^2=a^2-1$ $. Se poi $ $N \equiv 0 \pmod {24}$ $ allora deve essere che $ $a^2 \equiv b^2 \equiv 1 \pmod {24}$ $ (e anche il viceversa). Si possono considerare i residui quadratici modulo 24 e ricavare, dopo un po' di conti, che l'equazione di prima ha soluzioni solamente se è verificata la nostra condizione...

[Sepp]

Si può anche notare che $ b^2 - 2a^2 = -1 $ è un'equazione di Pell e quindi lavorarci un pò sopra...