Dimostrare che:
$
\displaystyle
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sin(kx) = 2^n \sin\frac{nx}{2}\left(\cos\frac{x}{2}\right)^n
$
e che:
$
\displaystyle
\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\sin(kx) = (-2)^n \sin\frac{n(x+\pi)}{2}\left(\sin\frac{x}{2}\right)^n
$
Binomiali e trigonometriche
Binomiali e trigonometriche
Ultima modifica di Catraga il 30 ago 2006, 15:19, modificato 1 volta in totale.
Uhm ... a me la prima viene diversa .. cosa sbaglio?
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^n{n\choose k}\sin(kx)=\Im\sum_{k=0}^n{n\choose k}e^{ikx}}= $
$ \displaystyle{=\Im(1+e^{ix})^n=\Im(e^{\frac{ixn}{2}}(e^{ix/2}+e^{-ix/2})^n)}= $
$ \displaystyle{=\sin\left(\frac{xn}{2}\right)2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)} $
Allo stesso modo arrivo in fondo anche alla seconda, ma il seno di (x/2) mi viene pure lui alla n e non alla 2°.
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^n{n\choose k}\sin(kx)=\Im\sum_{k=0}^n{n\choose k}e^{ikx}}= $
$ \displaystyle{=\Im(1+e^{ix})^n=\Im(e^{\frac{ixn}{2}}(e^{ix/2}+e^{-ix/2})^n)}= $
$ \displaystyle{=\sin\left(\frac{xn}{2}\right)2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)} $
Allo stesso modo arrivo in fondo anche alla seconda, ma il seno di (x/2) mi viene pure lui alla n e non alla 2°.
Ecco la seconda:
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}\sin(kx)=\Im\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^ke^{ikx}}= $
$ \displaystyle{=\Im(1-e^{ix})^n=\Im(e^{\frac{ixn}{2}}(-e^{ix/2}+e^{-ix/2})^n)}= $
$ \displaystyle{=(-1)^{n/2}\sin\left(\frac{xn}{2}\right)2^n\sin^n\left(\frac{x}{2}\right)} $se n è pari
$ \displaystyle{=(-1)^{(n+1)/2}\cos\left(\frac{xn}{2}\right)2^n\sin^n\left(\frac{x}{2}\right)} $se n è dispari
che se non sbaglio si riassumono nella tua scrittura.
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}\sin(kx)=\Im\sum_{k=0}^n{n\choose k}(-1)^ke^{ikx}}= $
$ \displaystyle{=\Im(1-e^{ix})^n=\Im(e^{\frac{ixn}{2}}(-e^{ix/2}+e^{-ix/2})^n)}= $
$ \displaystyle{=(-1)^{n/2}\sin\left(\frac{xn}{2}\right)2^n\sin^n\left(\frac{x}{2}\right)} $se n è pari
$ \displaystyle{=(-1)^{(n+1)/2}\cos\left(\frac{xn}{2}\right)2^n\sin^n\left(\frac{x}{2}\right)} $se n è dispari
che se non sbaglio si riassumono nella tua scrittura.
