Tutte le soluzioni dell'equazione 3phi(n) + 2 = n
Tutte le soluzioni dell'equazione 3phi(n) + 2 = n
Determinare ogni soluzione in interi positivi dell'equazione $ 3\phi(n) + 2 = n $, dove $ \phi(\cdot) $ è la funzione di Eulero.
(mamma come si vede che non ho voglia di studiare quantistica ... faccio teoria dei numeri ... o ci provo)
Allora ... vediamo se riesco a sbagliarne un altro :
sia p un fattore primo maggiore di 3 di n; allora $ p\mid n \Rightarrow p\mid 3\phi(n)+2 $ quindi p non divide $ \phi(n) $; quindi p compare al più con esponente 1 in n. Inoltre, 3 non può dividere n, in quanto n=3k+2. Infine, se $ 8\mid n $, allora $ 4\mid \phi(n) $, da cui 4|2, il che è chiaramente assurdo. Quindi $ n=2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k $ con a=0,1,2 e con i p_i primi distinti; da cui $ \phi(n)=2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1) $. Dunque, vorremmo
$ 2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k=3\cdot2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1)+2 $
ma $ 3\cdot2^{a-1}>2^a $ e $ p_i>(p_i-1) $ quindi questo è chiaramente impossibile. Da cui, l'equazione non ha soluzioni (spero).
Allora ... vediamo se riesco a sbagliarne un altro :
sia p un fattore primo maggiore di 3 di n; allora $ p\mid n \Rightarrow p\mid 3\phi(n)+2 $ quindi p non divide $ \phi(n) $; quindi p compare al più con esponente 1 in n. Inoltre, 3 non può dividere n, in quanto n=3k+2. Infine, se $ 8\mid n $, allora $ 4\mid \phi(n) $, da cui 4|2, il che è chiaramente assurdo. Quindi $ n=2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k $ con a=0,1,2 e con i p_i primi distinti; da cui $ \phi(n)=2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1) $. Dunque, vorremmo
$ 2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k=3\cdot2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1)+2 $
ma $ 3\cdot2^{a-1}>2^a $ e $ p_i>(p_i-1) $ quindi questo è chiaramente impossibile. Da cui, l'equazione non ha soluzioni (spero).
Impossibile perché? Non ti seguo... :S Hai un fattore a destra più grande d'uno a sinistra, ed uno di sinistra più grande d'uno di destra. Embè? E in ogni caso tutte queste elucubrazioni non vanno granché bene, se prima non ti fai fuori almeno un paio di casi poco in linea con le relazioni che vai proponendo (più precisamene, a = 0 o k = 0). Da' il buon esempio, sii preciso!EvaristeG ha scritto:[...] Dunque, vorremmo
$ 2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k=3\cdot2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1)+2 $ ma $ 3\cdot 2^{a-1}>2^a $ e $ p_i>(p_i-1) $ quindi questo è chiaramente impossibile.
