OliForum Matematico

Determinare ogni soluzione in interi positivi dell'equazione $ 3\phi(n) + 2 = n $, dove $ \phi(\cdot) $ è la funzione di Eulero.

(mamma come si vede che non ho voglia di studiare quantistica ... faccio teoria dei numeri ... o ci provo)

Allora ... vediamo se riesco a sbagliarne un altro :
sia p un fattore primo maggiore di 3 di n; allora $ p\mid n \Rightarrow p\mid 3\phi(n)+2 $ quindi p non divide $ \phi(n) $; quindi p compare al più con esponente 1 in n. Inoltre, 3 non può dividere n, in quanto n=3k+2. Infine, se $ 8\mid n $, allora $ 4\mid \phi(n) $, da cui 4|2, il che è chiaramente assurdo. Quindi $ n=2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k $ con a=0,1,2 e con i p_i primi distinti; da cui $ \phi(n)=2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1) $. Dunque, vorremmo
$ 2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k=3\cdot2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1)+2 $
ma $ 3\cdot2^{a-1}>2^a $ e $ p_i>(p_i-1) $ quindi questo è chiaramente impossibile. Da cui, l'equazione non ha soluzioni (spero).

EvaristeG ha scritto:[...] Dunque, vorremmo
$ 2^a\cdot p_1\cdot \ldots\cdot p_k=3\cdot2^{a-1}\cdot (p_1-1)\cdot\ldots\cdot (p_k-1)+2 $ ma $ 3\cdot 2^{a-1}>2^a $ e $ p_i>(p_i-1) $ quindi questo è chiaramente impossibile.

Impossibile perché? Non ti seguo... :S Hai un fattore a destra più grande d'uno a sinistra, ed uno di sinistra più grande d'uno di destra. Embè? E in ogni caso tutte queste elucubrazioni non vanno granché bene, se prima non ti fai fuori almeno un paio di casi poco in linea con le relazioni che vai proponendo (più precisamene, a = 0 o k = 0). Da' il buon esempio, sii preciso!

No calma, ho girato una disuguaglianza (sul foglio ma non sul forum) e quindi dal "ma" in poi, sono stronzate ... però, fin lì mi pare funzioni ... se pure non è la soluzione.

Funziona fin lì a patto che discuti i casi a = 0 o k = 0 come a se stanti.

Allora, se n è maggiore di 2, phi(n) è pari, quindi n pure deve esserlo; quindi 2|n. Per cui a>0. Il caso k=0 .. beh phi(2)=1, ma 3*1+2=5 che non è 2.
(e tutto questo potrebbe pure essere inutile, per quel che ne so...)

EvaristeG ha scritto:Allora, se n è maggiore di 2, phi(n) è pari, quindi n pure deve esserlo; quindi 2|n. Per cui a>0. Il caso k=0 .. beh phi(2)=1, ma 3*1+2=5 che non è 2.

...sì! E inoltre $ 3\phi(4) + 2 = 8 \ne 4 $. Per cui necessariamente a > 0 e k > 0. Adesso?