Tra i compiti delle vacanze della mia prof di mate c'era anche questo:
Risolvere l'equazione $ \log_{cos(x)} sen(x)+\log_{sen(x)} cos(x)=2 $
Io più di dire che $ 0<x<\frac{\pi}{2} (mod\ 2\pi) $ non sono riuscito a fare...
Volevo trovare una soluzione elementare, che dev'esserci se la mia prof l'ha proposta ai suoi alunni, ancora non iniziati a derivate, limiti ed integrali...
Qualche idea?
Logaritmi con funzioni goniometriche
sì, una soluzione elementare c'è..
chiama $ a=\log_{\cos x} \sin x = \frac{\log \sin x}{\log \cos x} = \left(\frac{\log \cos x}{\log \sin x}\right)^{-1} = \left(\log_{\sin x} \cos x\right)^{-1} $.
la tua equazione risulta $ a+\frac1{a} = 2 $. ora, per AM-GM, $ a=1 $, cioè $ \cos x = \sin x > 0 $ (per le condizioni d'esistenza), cioè $ x = \frac{\pi}4 +2k\pi $.
chiama $ a=\log_{\cos x} \sin x = \frac{\log \sin x}{\log \cos x} = \left(\frac{\log \cos x}{\log \sin x}\right)^{-1} = \left(\log_{\sin x} \cos x\right)^{-1} $.
la tua equazione risulta $ a+\frac1{a} = 2 $. ora, per AM-GM, $ a=1 $, cioè $ \cos x = \sin x > 0 $ (per le condizioni d'esistenza), cioè $ x = \frac{\pi}4 +2k\pi $.