Date due sfere di raggio $ R $ con densità di carica uniforme ed opposta.
I centri delle due sfere sono posti ad una distanza $ d < 2R $. Si dimostri che il campo elettrico nella zona d'intersezione delle 2 sfere è uniforme e proporzionale a $ d $
sns 2006-2007 es. n°6
-
Simo_the_wolf
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
Dato che _Cu_Jo_ lo desidera posto una soluzione... per non togliere il piacere di risolvere l'es ad altri metto solo il link a un .ps:
Soluzione
Sperando di non aver fatto errori stupidi.
In ogni caso rilancio: nel limite $ d << R $ determinare il campo fuori dalle due sfere. Cosa ricorda?
Soluzione
Sperando di non aver fatto errori stupidi.
In ogni caso rilancio: nel limite $ d << R $ determinare il campo fuori dalle due sfere. Cosa ricorda?
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
io ho fatto, e penso tutti..
Th. di Gauss da cui:
$ E(r) = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0} $
in direzione radiale.
Messo l'asse x sulla congiungente dei centri un punto dell'intersezione delle due sfere dista $ y $ da una sfera e $ d - y $ dalla seconda.
Principio di sovraposizione:
$ E(y) = \frac{\rho}{3 \epsilon_o}(y + d - y) $
che quindi non dipende da $ y $ ed è direttamente proporzionale a $ d $
Th. di Gauss da cui:
$ E(r) = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0} $
in direzione radiale.
Messo l'asse x sulla congiungente dei centri un punto dell'intersezione delle due sfere dista $ y $ da una sfera e $ d - y $ dalla seconda.
Principio di sovraposizione:
$ E(y) = \frac{\rho}{3 \epsilon_o}(y + d - y) $
che quindi non dipende da $ y $ ed è direttamente proporzionale a $ d $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
io l'ho risolto considerando un punto qualunque all'interno dell'area di inrtersezione.
la distanza dal centro a sinistra (che chiamo $ O_1 $ ) è $ x_1 $ la distanza da $ O_2 $ è $ x_2 $
chiamo gli angoli che si formano con la congiungente dei due centri $ \alpha $ e $ \beta $ .
scompongo il campo nelle sue componenti perpendicolari e parallele alla congiungente.
le perpendicolari le sottraggo perchè sono in goni caso opposte.
$ E_{perpendicolare}=\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_1sin(\alpha)^{3}}{x^{2}_1sin(\alpha)^{2}}-\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_2sin(\beta)^{3}}{x^{2}_2sin(\beta)^{2}} $
semplifico e raccolgo:
$ E_{perpendicolare}=\frac{4kQ\pi}{3}(x_1sin(\alpha)-x_2sin(\beta)) $
la quantità:
$ x_1sin(\alpha)-x_2sin(\beta) $ non è altro che la differenza tra la distanza del punto dalla congiungente dei centri e se stessa quindi è sempre 0.
le componenti parallele invece le sommo perchè sono concordi.
$ E_{parallela}=\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_1cos(\alpha)^{3}}{x^{2}_1cos(\alpha)^{2}}+\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_2cos(\beta)^{3}}{x^{2}_2cos(\beta)^{2}} $
semplifico e ottengo:
$ E_{parallela}=\frac{4kQ\pi}{3}(x_1cos(\alpha)+x_2cos(\beta)) $
ma questa non è altro che d, la distanza tra i due centri. quindi il campo all'interno dell'intersezione è:
$ E=\frac{4kQ\pi}{3}d $
la distanza dal centro a sinistra (che chiamo $ O_1 $ ) è $ x_1 $ la distanza da $ O_2 $ è $ x_2 $
chiamo gli angoli che si formano con la congiungente dei due centri $ \alpha $ e $ \beta $ .
scompongo il campo nelle sue componenti perpendicolari e parallele alla congiungente.
le perpendicolari le sottraggo perchè sono in goni caso opposte.
$ E_{perpendicolare}=\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_1sin(\alpha)^{3}}{x^{2}_1sin(\alpha)^{2}}-\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_2sin(\beta)^{3}}{x^{2}_2sin(\beta)^{2}} $
semplifico e raccolgo:
$ E_{perpendicolare}=\frac{4kQ\pi}{3}(x_1sin(\alpha)-x_2sin(\beta)) $
la quantità:
$ x_1sin(\alpha)-x_2sin(\beta) $ non è altro che la differenza tra la distanza del punto dalla congiungente dei centri e se stessa quindi è sempre 0.
le componenti parallele invece le sommo perchè sono concordi.
$ E_{parallela}=\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_1cos(\alpha)^{3}}{x^{2}_1cos(\alpha)^{2}}+\frac{4\pi}{3}\frac{kQx^{3}_2cos(\beta)^{3}}{x^{2}_2cos(\beta)^{2}} $
semplifico e ottengo:
$ E_{parallela}=\frac{4kQ\pi}{3}(x_1cos(\alpha)+x_2cos(\beta)) $
ma questa non è altro che d, la distanza tra i due centri. quindi il campo all'interno dell'intersezione è:
$ E=\frac{4kQ\pi}{3}d $
p.s. se non capite bene vi conviene farvi un disegno della situazione (d'altronde per farlo ho perso un'ora abbondante delle 6... 
)
inoltre la soluzione poteva essere molto più breve:
il vettore campo può essere scomposto in una costante per un vettore distanza
considerando un punto qualunque all'interno dell'intersezione, disegno i vettori distanza dai centri. è evidente come la somma dei due vettori non sia altro che un vettore che esce da $ O_1 $ e va a $ O_2 $
questo vettore è il vettore d, che risulta proporzionale a se stesso.
il campo risultante è (come già detto) il prodotto di una costante per questo vettore che è costante per qualunque punto si scelga. dunque il campo è omogeneo.
)inoltre la soluzione poteva essere molto più breve:
il vettore campo può essere scomposto in una costante per un vettore distanza
considerando un punto qualunque all'interno dell'intersezione, disegno i vettori distanza dai centri. è evidente come la somma dei due vettori non sia altro che un vettore che esce da $ O_1 $ e va a $ O_2 $
questo vettore è il vettore d, che risulta proporzionale a se stesso.
il campo risultante è (come già detto) il prodotto di una costante per questo vettore che è costante per qualunque punto si scelga. dunque il campo è omogeneo.
