un mcd proprio a caso

[Simo_the_wolf]

Si prendano due numeri a caso minori di $ N $ e sia $ d $ il loro mcd.

Si dimostri che in media $ d^2 /N $ tende asintoticamente a $ \displaystyle \frac{\zeta (2)} {2 \zeta (3) } $.


Più rigorosamente:

$ \displaystyle \lim _{N \rightarrow + \infty } \frac 1N \left( \sum_ {n \leq N} \frac 1n \sum_{ i \leq n } \frac {(i,n) ^2 }N \right ) $ $ \displaystyle = \frac{\zeta (2)} {2 \zeta (3) } $

[in realtà nella sommatoria è preso il primo numero e poi il secondo minore del primo ma comunque dovrebbe venire la stessa cosa... forse con un 3 al posto del 2 al denominatore]

[HiTLeuLeR]

Bellino, lui! Poniamo $ f(n) = n $ e $ \displaystyle g(n) = \frac{\varphi(n)}{n} $, per ogni $ n\in\mathbb{N}^+ $. Poi d'aver considerato che $ f $ e $ g $ sono moltiplicative, definiamo $ h = f \star g $, dove $ \star $ indica un prodotto di Dirichlet. Quindi poniamo $ \displaystyle H(N) = \sum_{n=1}^N h(n) $, $ \displaystyle F(N) = \sum_{n=1}^N f(n) $ e $ \displaystyle G(N) = \sum_{n=1}^N g(n) $, per ogni $ N \in \mathbb{N} $. Poiché $ \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n {\gcd}^2(i,n) = \sum_{d \mid n} d \cdot \frac{d}{n} \varphi\!\left(\frac{n}{d}\right) = h(n) $, se $ n\in\mathbb{N}^+ $, si tratta evidentemente di valutare (ammesso che esista) il limite $ \ell = \displaystyle \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N^2} \sum_{n=1}^N h(n) = \lim_{N \to \infty} \frac{H(N)}{N^2} $. Senonché $ \displaystyle H(N) = \sum_{n=1}^N g(n) F\!\left(\frac{N}{n}\right) = \frac{1}{2} N^2 \cdot \sum_{n=1}^N \frac{\varphi(n)}{n^3} + \frac{1}{2} N \cdot \sum_{n=1}^N \frac{\varphi(n)}{n^2} $, per via d'un noto risultato riguardante le somme parziali di un prodotto di Dirichlet. Dunque $ \displaystyle\ell = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^3} = \frac{\zeta(2)}{2\zeta(3)} $.

[Simo_the_wolf]

più in generale presi due numeri a caso $ \leq N $ avremo che, se il loro mcd è $ d $ allora $ \displaystyle \tfrac {d^a}{N^{a-1}} $ converge per $ a >1 $, $ d^a $ converge per $ 0<a<1 $ e in particolare per $ a \rightarrow 0 $ il valor medio tende a $ 12 / \pi ^2 $

Un po' di risultati:

$ a>1 $
$ \displaystyle media \left( \frac { d^a } {N^{a-1} } \right) \rightarrow \frac { \zeta (a ) } { (a+1) \zeta (a+1)} $

$ 0<a<1 $
$ \displaystyle media ( d^a ) \rightarrow \frac 2{(1-a^2) \zeta (2-a)} $

[HiTLeuLeR]

Né più né meno difficile del caso già discusso, anche se non ho svolto estesamente il bieco conto e non sono del tutto convinto di quel fattore (a+1) a denominatore.

[Simo_the_wolf]

Vabbè non era pensato come esercizio... comunque c'è l'$ a+1 $ invece di $ a $ perchè avevo sbagliato a scrivere la sommatoria all'inizio. Per come è definito il problema io voglio $ \sum_{i,j \leq N} (i,j)^a $

[HiTLeuLeR]

Boh, la prendo per buona - la questione non mi dà più stimolo.