Se ax^2 + by^2 = 1 possiede una soluzione razionale

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 03 set 2006, 10:58

Siano $ a,b \in \mathbb{Q} $. Provare che, se l'equazione $ ax^2 + by^2 = 1 $ possiede una soluzione in numeri razionali x ed y, allora ne possiede infinite.

dalferro11 · Messaggio da **dalferro11** » 03 ott 2006, 12:12

direi che è pressochè banale sui razionali.......

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 09 dic 2006, 17:40

dalferro11 ha scritto:direi che è pressochè banale sui razionali.......

Suppongo tu abbia dei validissimi argomenti a sostegno di quest'opinione, non è così?

dalferro11 · Messaggio da **dalferro11** » 11 dic 2006, 12:30

Certamente, visto che il mio latex è molto scarso e visto che a causa del tempo a disposizione imparo qualche simbolo ogni tanto, non ho scritto nulla......
Credo (almeno) visto che a, b, x, y, sono razionali e visto che si suppone che la soluzione ci sia, scrivere a, b, x, y come frazioni aiuti molto nella soluzione.
Per ora non voglio togliere a qualcun altro il piacere di risolverlo..

Messaggio da **EvaristeG** » 11 dic 2006, 15:49

Forse è una sciocchezza ma ...

...il metodo delle secanti non funziona? se P=(x0,y0) è soluzione, considero la tangente in P alla conica e il fascio di rette per P; tra queste ve ne sono una infinità con coefficiente angolare razionale, quindi la loro ulteriore intersezione con la conica (che esiste tranne che in al più un numero finito di casi) è pure razionale. Ve ne è un numero infinito perchè due rette distinte per P non possono incontrare la conica nello stesso punto.

dalferro11 · Messaggio da **dalferro11** » 11 dic 2006, 16:49

interessante la tua soluzione Evariste, da l'idea anche visiva!!
Vorrei porre un'altra domanda:
è necessario che a e b siano razionali.....?

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 17 dic 2006, 10:23

@Evariste: sì.

dalferro ha scritto:è necessario che a e b siano razionali...?

Quali sono gli unici punti a coordinate razionali sull'ellisse di equazione $ x^2 + \sqrt{2} y^2 = 1 $?

dalferro11 · Messaggio da **dalferro11** » 18 dic 2006, 10:12

...veramente, visto che si parlava di equazione diofantea, intendevo dire:
Possono essere entrambi interi?

Messaggio da **EvaristeG** » 18 dic 2006, 10:31

dalferro, scusa, ma se la faccenda vale per due generici a,b razionali, non varrà a maggior ragione per a,b interi?
"e' necessario che siano razionali?" viene interpretato di solito come "diventa falso se a,b non sono razionali?" ... ora, se sono interi sono pure razionali, no?

dalferro11 · Messaggio da **dalferro11** » 18 dic 2006, 13:20

si hai ragione.
La mia domanda era in effetti banale, su questo ero sicuro.....non c'era niente di così complicato, era solo un "chiarimento".

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 18 dic 2006, 16:31

EvaristeG ha scritto:[...] se sono interi sono pure razionali [...]

Santo subito!

Messaggio da **EvaristeG** » 20 dic 2006, 07:54

Hmm penso che aspetterò i normali tempi ecclesiastici, grazie.