OliForum Matematico

Siano $ a,b \in \mathbb{Q} $. Provare che, se l'equazione $ ax^2 + by^2 = 1 $ possiede una soluzione in numeri razionali x ed y, allora ne possiede infinite.

direi che è pressochè banale sui razionali.......

dalferro11 ha scritto:direi che è pressochè banale sui razionali.......

Suppongo tu abbia dei validissimi argomenti a sostegno di quest'opinione, non è così?

Certamente, visto che il mio latex è molto scarso e visto che a causa del tempo a disposizione imparo qualche simbolo ogni tanto, non ho scritto nulla......
Credo (almeno) visto che a, b, x, y, sono razionali e visto che si suppone che la soluzione ci sia, scrivere a, b, x, y come frazioni aiuti molto nella soluzione.
Per ora non voglio togliere a qualcun altro il piacere di risolverlo..

Forse è una sciocchezza ma ...

...il metodo delle secanti non funziona? se P=(x0,y0) è soluzione, considero la tangente in P alla conica e il fascio di rette per P; tra queste ve ne sono una infinità con coefficiente angolare razionale, quindi la loro ulteriore intersezione con la conica (che esiste tranne che in al più un numero finito di casi) è pure razionale. Ve ne è un numero infinito perchè due rette distinte per P non possono incontrare la conica nello stesso punto.

interessante la tua soluzione Evariste, da l'idea anche visiva!!
Vorrei porre un'altra domanda:
è necessario che a e b siano razionali.....?

@Evariste: sì.

dalferro ha scritto:è necessario che a e b siano razionali...?

Quali sono gli unici punti a coordinate razionali sull'ellisse di equazione $ x^2 + \sqrt{2} y^2 = 1 $?

...veramente, visto che si parlava di equazione diofantea, intendevo dire:
Possono essere entrambi interi?

dalferro, scusa, ma se la faccenda vale per due generici a,b razionali, non varrà a maggior ragione per a,b interi?
"e' necessario che siano razionali?" viene interpretato di solito come "diventa falso se a,b non sono razionali?" ... ora, se sono interi sono pure razionali, no?

si hai ragione.
La mia domanda era in effetti banale, su questo ero sicuro.....non c'era niente di così complicato, era solo un "chiarimento".

EvaristeG ha scritto:[...] se sono interi sono pure razionali [...]

Santo subito!

Hmm penso che aspetterò i normali tempi ecclesiastici, grazie.