Il grafo di Petersen e' V-conservativo?

[Catraga]

Sia $ P_5 $ il grafo di Petersen.
Un grafo non orientato si dice V-conservativo su un campo $ \mathbb{K} $ se esiste una funzione
$ F:V(G)\longrightarrow\mathbb{K} $
tale che per ogni $ v\in V(G) $:
$ \displaystyle \sum_{w\in N(v)}F(w)=0 $
Dove $ N(v) $ indica i vertici adiacenti a $ v $ (incluso).
Per quali campi finiti $ P_5 $ e' V-conservativo? Inoltre, e' V-conservativo su $ \mathbb{C} $?

[ma_go]

Si ottiene (dopo aver rifatto i conti per aver letto "escluso" invece di "incluso")

tutti e soli i campi a caratteristica 2.

[Catraga]

Uno schizzo di dimostrazione?
No dettagli, grazie. Ho gli occhi pigri.

[FrancescoVeneziano]

Hai 10 incognite ed ogni vertice impone un vincolo lineare, quindi si tratta di risolvere un sistema lineare 10x10 con matrice la matrice di adiacenza del grafo + l'identità. Il determinante è 128, quindi esiste una soluzione non nulla se e solo se la caratteristica del campo divide 128, e quindi in tutti e soli i campi a caratteristica due (dove una soluzione si ottiene facilmente assegnando a tutti i vertici lo stesso valore)

[Catraga]

Adesso il salto di qualita':
definiamo un grafo orientato V-conservativo su un campo $ \mathbb{K} $.
Si dira' che $ G $ un grafo orientato e' V-conservativo su un campo $ \mathbb{K} $ se esiste una funzione:
$ F:V(G)\longrightarrow\mathbb{K} $
tale che, per ogni $ v\in V(G) $:
$ \displaystyle \sum_{w\in Out(v)}F(w)-\sum_{w\in In(v)}F(w)=F(v) $
dove $ Out(v) $ indica l'insieme dei vertici adiacenti a $ v $ uscenti, e
$ In(v) $ indica l'insieme dei vertici adiacenti a $ v $ entranti.
Eiste un'orientazione di $ P_5 $ che lo renda V-conservativo su un campo finito? E su $ \mathbb{C} $?