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Sia $ P_5 $ il grafo di Petersen.
Un grafo non orientato si dice V-conservativo su un campo $ \mathbb{K} $ se esiste una funzione
$ F:V(G)\longrightarrow\mathbb{K} $
tale che per ogni $ v\in V(G) $:
$ \displaystyle \sum_{w\in N(v)}F(w)=0 $
Dove $ N(v) $ indica i vertici adiacenti a $ v $ (incluso).
Per quali campi finiti $ P_5 $ e' V-conservativo? Inoltre, e' V-conservativo su $ \mathbb{C} $?

Si ottiene (dopo aver rifatto i conti per aver letto "escluso" invece di "incluso")

la premiata ma un po' distratta ditta ma_go&venez ha scritto: tutti e soli i campi a caratteristica 2.

Uno schizzo di dimostrazione?
No dettagli, grazie. Ho gli occhi pigri.

Hai 10 incognite ed ogni vertice impone un vincolo lineare, quindi si tratta di risolvere un sistema lineare 10x10 con matrice la matrice di adiacenza del grafo + l'identità. Il determinante è 128, quindi esiste una soluzione non nulla se e solo se la caratteristica del campo divide 128, e quindi in tutti e soli i campi a caratteristica due (dove una soluzione si ottiene facilmente assegnando a tutti i vertici lo stesso valore)

Adesso il salto di qualita':
definiamo un grafo orientato V-conservativo su un campo $ \mathbb{K} $.
Si dira' che $ G $ un grafo orientato e' V-conservativo su un campo $ \mathbb{K} $ se esiste una funzione:
$ F:V(G)\longrightarrow\mathbb{K} $
tale che, per ogni $ v\in V(G) $:
$ \displaystyle \sum_{w\in Out(v)}F(w)-\sum_{w\in In(v)}F(w)=F(v) $
dove $ Out(v) $ indica l'insieme dei vertici adiacenti a $ v $ uscenti, e
$ In(v) $ indica l'insieme dei vertici adiacenti a $ v $ entranti.
Eiste un'orientazione di $ P_5 $ che lo renda V-conservativo su un campo finito? E su $ \mathbb{C} $?