Sia $ n\in\mathbb{N}^+ $. Dimostrare che, se $ a \in \mathbb{Z} $ è una potenza n-esima mod p, per ogni $ p\in\mathfrak{P} $ (qui l'insieme dei primi di $ \mathbb{N} $), allora a è la potenza n-esima di un qualche intero.
EDIT: vedi oltre.
Se a è una potenza n-esima mod p, per infiniti primi p
Se a è una potenza n-esima mod p, per infiniti primi p
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 08 set 2006, 11:45, modificato 1 volta in totale.
c'e' qualcosa che non mi quadra... mi sembra che per ogni a sia vera la proprieta' che dici tu! infatti supponi che a sia un residuo n-esimo mod un numero finito di primi p, allora dovrebbe essere vero che $ x^n-a $ contiene, al variare di x tra i naturali, solo un numero finito di fattori primi... il che e' falso, si dimostra per assurdo supponendo che siano finiti e considerando poi x uguale al prodotto di tutti i fattori primi (va beh, questa cosa e' un pochino da aggiustare).
Non e' che per caso la proprieta' dev'essere vera PER OGNI primo p?
Non e' che per caso la proprieta' dev'essere vera PER OGNI primo p?
Si può riformulare così (traduco letteralmente da Hit) :
fissato n intero positivo e $ a\in\mathbb{Z} $, se per infiniti primi p esiste b (che dipende da p) tale che $ b^n\equiv a \bmod p $, allora a è la potenza n-esima di qualche intero.
Cmq l'obiezione di Leblanc è sensata, in quanto, anche senza andare a pescare cose troppo complicate, 2 è residuo quadratico per ogni primo della forma 8k+1.
fissato n intero positivo e $ a\in\mathbb{Z} $, se per infiniti primi p esiste b (che dipende da p) tale che $ b^n\equiv a \bmod p $, allora a è la potenza n-esima di qualche intero.
Cmq l'obiezione di Leblanc è sensata, in quanto, anche senza andare a pescare cose troppo complicate, 2 è residuo quadratico per ogni primo della forma 8k+1.