Max k tale che prodotto cifre n+i divide n+i (i=0, ..., k)

[HiTLeuLeR]

Determinare il massimo intero $ k \ge 0 $ per cui esiste un numero naturale n > 0 tale che il prodotto delle cifre non nulle nella rappresentazione decimale di n+i divide n+i, per ogni i = 0, 1, ..., k.

[Santana]

Determinare il massimo intero $ k \ge 0 $ per cui esiste un numero naturale n > 0 tale che il prodotto delle cifre non nulle nella rappresentazione decimale di n+i divide n+i, per ogni i = 0, 1, ..., k.

Sia $ f(n) $ il prodotto di tutte le cifre non nulle di $ n $.

Se la cifra delle unità di $ n $ è $ 9 $ e $ f(n)|n $ allora $ 9|f(n) $ segue $ 9|n $ per cui se fosse $ f(n+4)|n+4 $ avremmo la cifra delle unità di $ n+4 $ uguale a $ 3 $ per cui $ 3|f(n+4) $ e $ 3|n+4 $, impossibile. Da queste ultime considerazioni segue che $ k<13 $ infatti se $ f(n+i)|n+i $ per $ i=0,1,2...k $ allora mal che vada la cifra delle unità degli interi $ n+i $ varierà nella sequenza $ 0,1,2,...9,0,1,2 $.

Prendiamo

$ N=\frac{1000(10^{\phi(3^4 \cdot 7 )}-1)}{9} $

dove $ \phi $ è il totiente, da considerazioni elementari gli interi $ 1,2,...9 $ dividono $ N $ e le cifre significative di $ N $ superiori o uguali alle migliaia sono tutte uguali a $ 1 $. Allora

$ f(N)=1|N $
$ f(N+1)=1|N+1 $
$ f(N+2)=2|N+2 $
...
$ f(N+10)=1|N+10 $
$ f(N+11)=1|N+11 $
$ f(N+12)=2|N+12 $

la risposta al problema è dunque $ 12 $