Sia $ ABCD $ un quadrilatero e siano $ E $ ed $ F $ le intersezioni di $ AB $ con $ CD $ e $ BC $ con $ AD $.
(a) I punti medi di $ AC, BD, EF $ sono allineati (linea di Gauss).
(b) Gli ortocentri dei triangoli $ ABF, CDF, BCE, ADE $ sono allineati (linea di Aubert).
(c) La linea di Gauss e quella di Aubert sono perpendicolari.
Linee di Gauss e Aubert
La "linea di Gauss" l'ho sempre sentita attribuire a Newton, ma cmq...
(i) E' noto (e si può ricavare con facili considerazioni sulle aree) che, detti X,Y i punti medi delle diagonali AC e BD e P il punto medio di EF, allora l'area di XYE e l'area di XYF sono entrambe 1/4 dell'area di ABCD, da cui la tesi.
(i) E' noto (e si può ricavare con facili considerazioni sulle aree) che, detti X,Y i punti medi delle diagonali AC e BD e P il punto medio di EF, allora l'area di XYE e l'area di XYF sono entrambe 1/4 dell'area di ABCD, da cui la tesi.
(ii-iii) Per il secondo punto, ricordiamo che il circocentro di un triangolo è centro radicale delle tre circonferenze che hanno come diametro i lati. Consideriamo quindi i cerchi che hanno come diametro AC, BD, EF, i cui centri sono allineati.
Consideriamo inoltre l'ortocentro H di ADE; se denotiamo con A' la proiezione di A su DE, e con D',E' le altre due proiezioni, si ha
$ (I)\quad HA'\cdot HA=HE'\cdot HE=HD'\cdot HD $.
Ora, A' sta su DE, quindi su DC, quindi A' vede AC sotto un angolo di 90°; similmente, D' vede DB sotto un angolo di 90° e E' vede EF ancora sotto un angolo di 90°. Quindi l'uguaglianza precedente dice che in H si incontrano i tre assi radicali delle tre circonferenze di diametri AC, BD, EF; ma questi tre assi sono perpendicolari alla linea di Gauss su cui stanno i centri, quindi, avendo un punto in comune, coincidono.
Ora, anche gli altri ortocentri, tramite le relazioni tipo (I) che si possono scrivere negli altri tre triangoli, hanno la stessa potenza rispetto a queste tre circonferenze, quindi tutti e 4 gli ortocentri stanno sul comune asse radicale (la nostra linea di Aubert), che è perpendicolare alla linea di Gauss. E così segue anche il terzo punto.
Consideriamo inoltre l'ortocentro H di ADE; se denotiamo con A' la proiezione di A su DE, e con D',E' le altre due proiezioni, si ha
$ (I)\quad HA'\cdot HA=HE'\cdot HE=HD'\cdot HD $.
Ora, A' sta su DE, quindi su DC, quindi A' vede AC sotto un angolo di 90°; similmente, D' vede DB sotto un angolo di 90° e E' vede EF ancora sotto un angolo di 90°. Quindi l'uguaglianza precedente dice che in H si incontrano i tre assi radicali delle tre circonferenze di diametri AC, BD, EF; ma questi tre assi sono perpendicolari alla linea di Gauss su cui stanno i centri, quindi, avendo un punto in comune, coincidono.
Ora, anche gli altri ortocentri, tramite le relazioni tipo (I) che si possono scrivere negli altri tre triangoli, hanno la stessa potenza rispetto a queste tre circonferenze, quindi tutti e 4 gli ortocentri stanno sul comune asse radicale (la nostra linea di Aubert), che è perpendicolare alla linea di Gauss. E così segue anche il terzo punto.