Determinare ogni $ n\in\mathbb{N}^+ $ tale che il numero dei divisori interi positivi di n è pari a $ (4n)^{1/3} $.
Nota: questo è per farmi perdonare di aver risolto il problema di Bollasso troppo in fretta... :°
Se il numero dei divisori interi positivi di n è (4n)^{1/3}
A me viene nessuno...
Allora:
$ 4n = 4p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k} = ((a_1+1)\cdots(a_k+1))^3 $
Ora, dal fatto che quello a sinistra è un cubo, deduciamo che: 2|n e il resto degli esponenti degli altri primi sono multipli di 3. L'esponente del 2 è della forma 3k+1
$ 4n=2^{3c_1} \cdots p_k^{c_k} = ((3c_1-2)\cdots (3c_k+1))^3 $
Ora: 3 non divide n (basta guardare a destra.
Se p è un primo da 5 in poi, allora: $ p^{3c} > (3c+1)^3 $ perchè $ p^c > 3c+1 $ (vale per c=1 e induzione)
Per quanto riguarda il 2, $ 2^{3k} \ge (3k-2)^3 $ perchè $ 2^k \ge 3k-2 $.
Quindi moltiplicando, l' equazione non ha soluzioni.
Allora:
$ 4n = 4p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k} = ((a_1+1)\cdots(a_k+1))^3 $
Ora, dal fatto che quello a sinistra è un cubo, deduciamo che: 2|n e il resto degli esponenti degli altri primi sono multipli di 3. L'esponente del 2 è della forma 3k+1
$ 4n=2^{3c_1} \cdots p_k^{c_k} = ((3c_1-2)\cdots (3c_k+1))^3 $
Ora: 3 non divide n (basta guardare a destra.
Se p è un primo da 5 in poi, allora: $ p^{3c} > (3c+1)^3 $ perchè $ p^c > 3c+1 $ (vale per c=1 e induzione)
Per quanto riguarda il 2, $ 2^{3k} \ge (3k-2)^3 $ perchè $ 2^k \ge 3k-2 $.
Quindi moltiplicando, l' equazione non ha soluzioni.
Ultima modifica di edriv il 09 set 2006, 17:59, modificato 1 volta in totale.
Qualcosa proprio non va, Edriv, se è vero - come è vero - che n = 2 è una soluzione: $ \tau(2) = 2 = (4 \cdot 2)^{1/3} $.edriv ha scritto:A me viene nessuno... [...] Quindi moltiplicando, l' equazione non ha soluzioni.
Sistemerei poi quegli esponenti: non è $ p^3c $, bensì $ p^{3c} $, e così pure $ 2^3k $, in effetti, è $ 2^{3k} $. Come abitudine generale, racchiudi sempre pedici e indici fra graffe, per evitare problemi quando poi dovessero essere composti da due o più simboli.edriv ha scritto:[...] allora: $ p^3c > (3c+1)^3 $ perchè $ p^c > 3c+1 $
[...] Per quanto riguarda il 2, $ 2^3k \ge (3k-2)^3 $ perchè $ 2^k \ge 3k-2 $.
Ok, l'ultima frase che ho scritto risulta senza significato anche a me 
Ho trovato l'errore: nella disuguagianza col due dovrebbe essere:
$ 2^k > 3k-1 $ (per x>3) e non 3k-2 (infatti $ n=2^{3k-2} $ ma devo aggiungere 1 all'esponente$ [tex] $.
Per k=3 si ha l'uguaglianza, che da la soluzione n=128, e si ha l'uguaglianza anche con k=1, che da la soluzione n=2.
Per k=2 invece ci sono casini perchè la disuguaglianza è al contrario... ma neanche tanto. Infatti già con p=5 la disuguaglianza è abbastanza larga da ricoprire anche questo "svantaggio", non ho voglia di postare i calcoli.
Ho trovato l'errore: nella disuguagianza col due dovrebbe essere:
$ 2^k > 3k-1 $ (per x>3) e non 3k-2 (infatti $ n=2^{3k-2} $ ma devo aggiungere 1 all'esponente$ [tex] $.
Per k=3 si ha l'uguaglianza, che da la soluzione n=128, e si ha l'uguaglianza anche con k=1, che da la soluzione n=2.
Per k=2 invece ci sono casini perchè la disuguaglianza è al contrario... ma neanche tanto. Infatti già con p=5 la disuguaglianza è abbastanza larga da ricoprire anche questo "svantaggio", non ho voglia di postare i calcoli.
Temo ti stia affrettando troppo in conclusioni: il set delle soluzioni non è ancora completo, conviene che consideri con maggiore attenzione il caso k = 2. Tutto il resto adesso va bene!edriv ha scritto: Per k=2 invece ci sono casini perchè la disuguaglianza è al contrario... ma neanche tanto. Infatti già con p=5 la disuguaglianza è abbastanza larga da ricoprire anche questo "svantaggio", non ho voglia di postare i calcoli.
