Vi riporto questo quesito che si trova sui test per la SISS di Pisa:
10. Sia f: R R una funzione dispari. Sia a > 0 fissato e poniamo $ \displaystyle I=\int_{-2a}^{2a} f(x)dx $ ; allora
A) I non dipende da f
B) I può non esistere
C) I è un numero pari
D) I = 0
E) I è un numero dispari
secondo voi quale è la risposta
Quesito SISS Pisa, quale è la risposta?
Quesito SISS Pisa, quale è la risposta?
Ultima modifica di Boss il 09 set 2006, 14:53, modificato 4 volte in totale.
, un errore nel copia-incollacmq anche io avevo pensato così, però la risposta corretta è la B, perchè?HiTLeuLeR ha scritto:Dovresti imparare ad usare il $ \LaTeX $, anziché incollare formule come fossero immagini. A parte questo... Vale $ \displaystyle I = \int_{-2a}^0 f(x) dx + \int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^{2a} f(-x) dx + \int_0^{2a} f(x) dx $ $ \displaystyle = \int_0^{2a} (f(-x) + f(x)) dx = 0 $, poiché f è dispari.
ps: fatto con il latex
Perchè nessuno ti dice che f sia integrabile ... mi spiego :
se anche f è una funzione misurabile, nessuno ti assicura che i due integrali
$ \int_0^{2a}f(x)dx $ e $ \int_{-2a}^0f(x)dx $ esistano finiti.
Infatti, se entrambi divergono, non c'è modo sensato di scriverne la differenza : anche in un caso semplice tipo
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{-2}&x\neq0\\0&x=0\end{array}\right\. $
l'integrale in ]0,2a] è infinito, quindi non ha senso scriverne la differenza, del resto è totalmente arbitrario scrivere che
$ I=\displaystyle{\lim_{t\to 0^+}\int_{-2a}^{-t}f(x)dx+\int_{t}^{2a}f(x)dx} $ (che fa 0).
Quello che si dovrebbe scrivere è
$ I=\displaystyle{\lim_{t\to 0^+}\int_{-2a}^{-t}f(x)dx+\lim_{s\to0^+}\int_{s}^{2a}f(x)dx} $ che non si sa bene quanto fa in quanto i limiti sono indipendenti e fanno entrambi infinito, seppur con segni diversi.
Questa, se vuoi, è la "giustificazione" per la definizione di funzione integrabile, in cui si chiede che |f| abbia integrale finito; la funzione non rientra in questo caso e quindi I può non esistere (come nel caso della funzione descritta).
se anche f è una funzione misurabile, nessuno ti assicura che i due integrali
$ \int_0^{2a}f(x)dx $ e $ \int_{-2a}^0f(x)dx $ esistano finiti.
Infatti, se entrambi divergono, non c'è modo sensato di scriverne la differenza : anche in un caso semplice tipo
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{-2}&x\neq0\\0&x=0\end{array}\right\. $
l'integrale in ]0,2a] è infinito, quindi non ha senso scriverne la differenza, del resto è totalmente arbitrario scrivere che
$ I=\displaystyle{\lim_{t\to 0^+}\int_{-2a}^{-t}f(x)dx+\int_{t}^{2a}f(x)dx} $ (che fa 0).
Quello che si dovrebbe scrivere è
$ I=\displaystyle{\lim_{t\to 0^+}\int_{-2a}^{-t}f(x)dx+\lim_{s\to0^+}\int_{s}^{2a}f(x)dx} $ che non si sa bene quanto fa in quanto i limiti sono indipendenti e fanno entrambi infinito, seppur con segni diversi.
Questa, se vuoi, è la "giustificazione" per la definizione di funzione integrabile, in cui si chiede che |f| abbia integrale finito; la funzione non rientra in questo caso e quindi I può non esistere (come nel caso della funzione descritta).
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Però un po' bastardo è... Voglio dire, un esercizio deve verificare la conoscenza che ho di matematica e la capacità nel saperla applicare, non cercare di fregarmi. Nel parlare comune tra matematici un sacco di volte si danno ipotesi scontate (ad esempio che una funzione sia integrabile quando si parla di integrale). Il fatto che ci sia la risposta b ti indirizza un po', ma per il resto mi sembra solo un problema fregatura.
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Nonno Bassotto, dipende da qual è il target del test.
In generale sono d'accordo con te, ma trattandosi della SSIS, è un quesito del tutto pertinente (ne è una prova il fatto che HiTLeuLeR l'abbia scazzato
).
Ovvero: insegnamo ai professori del liceo a dire bene le ipotesi dei teoremi, e ricordiamogli (tra le altre cose) che non tutte le funzioni sono continue!
Btw, nota che la risposta D si esclude a priori, perché implica la A e la C. Un test a risposta multipla dove le alternative si implicano banalmente a vicenda, non lascia dubbi sulle aspettative di qualità del suo target, io credo.
In generale sono d'accordo con te, ma trattandosi della SSIS, è un quesito del tutto pertinente (ne è una prova il fatto che HiTLeuLeR l'abbia scazzato
).Ovvero: insegnamo ai professori del liceo a dire bene le ipotesi dei teoremi, e ricordiamogli (tra le altre cose) che non tutte le funzioni sono continue!
Btw, nota che la risposta D si esclude a priori, perché implica la A e la C. Un test a risposta multipla dove le alternative si implicano banalmente a vicenda, non lascia dubbi sulle aspettative di qualità del suo target, io credo.
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