Sant'Anna 2006, Ingegneria: Matematica, prova 2

[MdF]

In un gioco al Casinò sono presenti 4 pacchi: uno contiene € 10, uno € 20, uno € 30 e uno € 40. Per partecipare si pagano € 35 a partita.
Si sceglie il primo pacco. Se si vuole si può tenere il contenuto e il gioco finisce, altrimenti si può scegliere un secondo pacco. Come prima, o si trattiene il contenuto o si procede a scegliere un terzo pacco. In tal caso, però, il contenuto del terzo pacco è la vincita del giocatore.

Ci sono due giocatori con differenti strategie.
Tullio, appena esce o 30, o 40, lo prende subito.
Marco prende o il 40, o quello che trova nel terzo pacco.

Si chiede:
1) determinare alla lunga a cosa portano le due strategie;
2) trovare una strategia migliore O dimostrare che una delle due è la strategia migliore.

[MdF]

2) trovare una strategia migliore O dimostrare che una delle due è la strategia migliore.

Ho proceduto come segue.
Se il primo numero estratto è 10, 20 o 40, utilizzo la strategia di Tullio (cioè prendo il primo 30 o 40 che mi capita).
Se il primo numero è 30, vado oltre. Se esce il 40 lo prendo, altrimenti vado alla terza estrazione. I casi con prima uscita 30 sono:

30 10 20 40
30 10 40 21
30 20 10 40
30 20 40 10
30 40 10 20
30 40 20 10

Ho grassettato le scelte di questi sei casi.
Nei casi con primo numero estratto 10 o 20, le vincite con 30 e 40 sono uguali: cioè vengono vinti per 6 volte € 40 e per 6 volte € 30. Nei casi con primo numero estratto 40, vengono vinti per 6 volte € 40. Nei casi con primo numero estratto 30, vengono vinti per 4 volte € 40, per 1 volta € 10 e per 1 volta € 20.
Totalizzando:

€ 40 x (6+6+4) = 640
€ 30 x 6 = 180
€ 20 x 1 = 20
€ 10 x 1 = 10
= € 850

Poiché le partite possibili sono 24 e ho contato i casi su di esse, la spesa totale per giocare 24 partite è $ $ 24 \cdot € 35 $ $ = € 840. Mi sembra evidente che 850 - 840 = 10 euro di guadagno, alla lunga di 24 partite.

Qualcuno riesce a trovare strategie migliori?

[MindFlyer]

Non esiste una strategia migliore, si dimostra facilmente disegnando l'albero delle scelte (non è grande, e in più si possono fare delle semplificazioni..):

All'inizio vi sono 4 ramificazioni, in cui si vince 10, 20, 30 o 40 con probabilità 1/4. Da ognuna di queste partono 3 ramificazioni con probabilità 1/3, e da ognuna di queste ne partono altre 2 con probabilità 1/2.
Ad ogni nodo dobbiamo decidere cosa fare, ovvero se fermarci o se andare avanti. Conviene andare avanti se e solo se la vincita in quel nodo è minore della vincita media sul sottoalbero che parte da quel nodo.
Quindi basta valutare tutto l'albero a partire dalle foglie e salendo su, e per ogni nodo segnare la massima vincita media.

Faccio un esempio: supponiamo che la prima scelta abbia dato 30, e la seconda 20. Posso accettare 20 o andare avanti. Se vado avanti può uscire 10 o 40, e sarò costetto ad accettarlo perché è la 3^ estrazione, quindi in media vincerò 25. Perciò mi conviene andare avanti, perché 25>20, e segno sul nodo che la massima vincita media è 25.
Nello stesso modo, trovo che nei 2 nodi "fratelli" vinco in media 30 e 40. Quindi posso risalire su nell'albero, e vedere cosa mi conviene fare se la prima estrazione è 30. Se accetto vinco 30, se vado avanti posso vincere 25, 30 o 40, che hanno media 31,666..., quindi mi conviene andare avanti e la vincita media per quel nodo è 31,666....
Andando avanti in questo modo e salendo fino alla radice, si trova che la massima vincita media è 35,41666..., che è la roba trovata da MdF.