funzione logaritmo con denominatore in valore assoluto

[gilberto]

ciao a tutti ho problemi con il C.E. , i limiti e il grafico (che non riesco a visualizzare in mente) della seguente funzione

$ $f(x)=\frac{lgx}{1-|lgx|}$ $

*) il mio C.E. è (0;$ e^{-1} $)U(e;$ +\infty) $
*) ho calcolato i limiti considerando il lgx senza il V.A. e spuntano due Asintoti A.V. x=e e A.O. y=-1
*) la $ $f{'}=\frac{1}{x(1-lgx)^{2}}$ $
pongo del denominatore la x>0 e $ ${\sqrt{{(1-lgx)^{2}}} {\rangle} {0}$ $ che mi porta a calcolare |1-logx|>0 questa quantità negativa in v.a. è positiva se logx è negativo cioè logx<1 quindi x<e
se pomgo tutto lungo la retta ottengo che la f(x) è S.C. in (0;e) e S.D. per valori superiori ad e.
*)la$ $f{''}=\frac{lgx+1}{x^{2}(1-lgx)^{3}} $

mi da $ $(0;e^{-1}) (e;+{\infty})$ $ la f(x) è concava (negativa)

mentre $ $(e^{-1};e)$ $ la f(x) è convessa (positiva)

A PATTO CHE SIA TUTTO GIUSTO !!!!!! e considerando che la F(x) non è nè pari nè dispari non potendo esistere -x e che avendo 1-|logx| la parte di grafico negativa al di sotto delle x va posta al di sopra cambiando segno mi potetet dire come è il grafico e se e dove ho sbagliato.

grazie

[Sosuke]

Il C.E. è $ (0;e^-1)U(e^-1;e)U(e;+\infty) $

I limiti dove tendono?

[Apocalisse86]

Il dominio corretto è quello scritto da Sosuke cioè:

$ C.E. \equiv (0, e^{-1}) \cup (e^{-1},e) \cup (e, +\infty) $

tieni presente poi che:


$ \displaystyle \ |\ln x|= \left\{ \begin{array}{rl} \ln x & \mbox{per } x > 1 \\ -\ln x & \mbox{per } 0 <x < 1 \end{array} \right. $

quindi fai attenzione quando calcoli i limiti e le derivate....

[gilberto]

scusate ma continuo a non capire !!!
Abbiamo ampliato il C.E. ma non capisco come trattare la derivata prima e seconda nonchè i limiti.....nel mio studio di funzione dove ho sbagliato ???
Ho difficoltà a capire come trattare il valore assoluto (il mio Prof. lo adora e lo mette ovunque)
$ $\sqrt{(1-lgx)^{2}}$ $>0 mi porta a studiare $ ${|1-logx|>0}$ $
come si sviluppa e perchè ????

[SkZ]

a me viene $ \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x(1-|\ln{x}|)^2} $
dato che x>0 $ ~ f'(x)>0 \; \forall x $
disegnando il grafico a occhio mi viene convessa per $ ~ x\in ]0;e^{-1}[ $, concava per $ ~ x\in ]e^{-1};1[ $, covessa per $ ~ x\in ]1;e[ $ e cocava per $ ~ x\in ]e;+\infty[ $

[Sosuke]

Allora... devi sviluppare la funzione... o meglio il valore assoluto.. vedere quando è positivo e quando è negativo....

Come dice Apocalisse86... il logaritmo è negativo quando il suo argomento è compreso tra 0 e 1... nel tuo caso quindi

devi studiare la funzione prima tra $ (0;e^-1)U(e^-1;1) $... qui la tua funzione diventa $ f(x)=\displaystyle \frac{lg x}{1+lg x} $ (ATTENTO: Al denominatore è $ + lg x $)

e poi la devi studiare quando cambia il valore assoluto... quindi tra $ (1;+\infty) $... qui la funzione diventa $ f(x)=\displaystyle \frac{lg x}{1-lg x} $

A questo punto ti calcoli le due derivate.... tieni conto che nel punto dove il valore assoluto cambia (quindi quando è 0), la derivata non esiste... lì c'è un punto di non derivabilità...

Se hai bisogno d'altro.. chiedi pure

[gilberto]

ho rifatto la funzione riflettendo meglio su ciò che ha detto Apocalisse e quando
*) x>1 cioè logx>0 mi spunta A.V. per x=e e A.O. per y=-1 a questo punto faccio la $ $f^{'}(x) e la f{''}(x)$ $
e mi spunta che la f(x) parte da 1 e cresce con concavità alto verso
A.V. x=e mentre la f(x) mi decresce con concavità verso il basso per valori superiori ad "e" trovandosi
nel 2° quadrante negativo fra gli Asintoti Orizzontale (y=-1) e Verticale (x=e)
*) 0<x<1 cioè |logx|=-logx e mi spunta un A.V.$ $x=e^{-1}$ $ la derivata prima mi da una funzione S.C.
la derivata seconda mi da un flesso $ $(e^{-3};{3/2})$ $
a questo punto la f(x) nell'intervallo$ $(e^{-1};1) $
è crescente con concavità basso sempre nel 2°quadrante negativo, mentre nell'intervallo$ $(0;e^{-3}) $
è crescente con concav.basso arriva al flesso e cambia con concav,. alto verso A.V.$ $e^{-1}$ $
a questo punto COLPO DI SCENA:
poichè il log era in v.a. l'A.O. y=-1 diventa A.O. y=1 e i rami di f(x) presenti nel 2° quadrante negativo vengono ribaltati sull'asse x cambiando la concavità, il tratto di funzione che presentava il flesso ha origine nel punto (0;1) da dove parte A.O.
E' CORRETTO???

spero di essere stato chiaro ma non sono in grado di usare il programma di grafico di funzione.
grazie ancora e ciao a tutti

[Apocalisse86]

a questo punto COLPO DI SCENA:
poichè il log era in v.a. l'A.O. y=-1 diventa A.O. y=1 e i rami di f(x) presenti nel 2° quadrante negativo vengono ribaltati sull'asse x cambiando la concavità, il tratto di funzione che presentava il flesso ha origine nel punto (0;1) da dove parte A.O.
E' CORRETTO???

$ y=|f(x)| \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{rl} y=f(x) & \mbox{per } f(x) \geq 0 \\ y=-f(x) & \mbox{per } f(x) < 0 \end{array} \right. $

Mentre se il valore assoluto riguarda non la funzione ma solo il suo argomento ossia $ f|(x)| $ abbiamo che:

$ y=f|(x)| \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{rl} y=f(x) & \mbox{ } \forall x \in \mathbb R^+ \cap A \\ y=f(-x) & \mbox{ } \forall x \in \mathbb R^- \cap A \end{array} \right. $

dove A è il campo di esistenza della funzione.

N.B.
Per quanto riguarda $ f|(x)| $ si può fare la seguente considerazione:
la funzione $ y=f(-x) $, a seconda che sia pari o dispari, diventa rispettivamenta $ y=f(x) $ oppure $ y= -f(x) $.
Riassumendo: se $ f(x) $ è pari, il grafico di $ y=f|(x)| $ coincide con quello di $ y=f(x) $ $ \forall x \in \mathbb R^+ \cap A $, mentre se $ f(x) $ è dispari, il grafico di $ y=f|(x)| $ coincide con quello di $ y=f(x) $ $ \forall x \in \mathbb R^+ \cap A $ e con quello di $ y=-f(x) $ $ \forall x \in \mathbb R^- \cap A $. Ad esempio il grafico di $ y= \cos |x| $ coincide con quello della cosinusoide perchè il coseno è una funzione pari.

Quando studi una funzione con valore assoluto $ |f(x)| $ puoi seguire due strade secondo la complessità della funzione:

1)Se la funzione è relativamente "facile" o elementare:

Esempio mooolto banale:

$ y=| \sin x| $

Come ti comporti? la studi senza valore assoluto!
Dato che tu conosci l'andamento della sinusoide, la disegni, e negli intervalli dove è negativa come in $ [ \pi ; 2\pi] $ la "ribalti" facendola diventare positiva......questo "ribaltamento" coincide proprio col tracciare la funzione y=-f(x) nell'intervallo dove appunto la f(x) è negativa (infatti y=-f(x) è la simmetrica di y=f(x) rispetto all'asse delle x)


2)Se la funzione è più "complicata":
Come si fa? Sfrutti la definizione stessa di valore assoluto per la quale il grafico di una funzione $ y=|f(x)| $ è formato da parti di due grafici distinti, quello di $ y= f(x) $ quando $ f(x) > 0 $ e quello di $ y= -f(x) $ quando $ f(x) < 0 $. Questo significa ke suddividi l'insieme di esistenza in vari sottoinsiemi(nel nostro caso due) in ciascuno dei quali ottieni una funzione diversa che studierai a parte ma alla fine, per ottenere il grafico complessivo, le rappresenterai tutte assieme. Quindi, quando hai eseguito in partenza un'analisi sui valori assoluti non c'è bisogno alla fine di "ribaltare" le parti di grafico sotto l'asse $ x $ perché in realtà hai studiato sia la $ f(x) $ che la $ -f(x) $ e i grafici sul piano li hai disegnati entrambi..!

Se invece il valore assoluto riguarda solo l'argomento $ f|(x)| $ tieni presente quello che ho scritto all'inizio...alla fine il modo di procedere è simile...

Spero che sia stato chiaro nella spiegazione e di non averti confuso maggiormente le idee !! Se hai ancora dubbi...sempre che io sia capace di risolverli....chiedi

[MindFlyer]

Per favore Apocalisse86, pensa bene a quello che scrivi.

Il valore assoluto è una funzione. Non è un operatore che si "applica" a funzioni. Si compone con le funzioni esattamente come qualsiasi altra funzione.

$ |x| = \begin {cases} x & \mbox{ per } x\geq 0 \\ -x & \mbox{ per } x<0 \end {cases} $

Quello che hai scritto tu non ha senso, ed è comunque ridondante.

[Apocalisse86]

Il valore assoluto è una funzione. Non è un operatore che si "applica" a funzioni. Si compone con le funzioni esattamente come qualsiasi altra funzione.

$ |x| = \begin {cases} x & \mbox{ per } x\geq 0 \\ -x & \mbox{ per } x<0 \end {cases} $

Quello che hai scritto tu non ha senso, ed è comunque ridondante.

! .......ho sbagliato........ ! che figura... ....non ho scuse.....solo che la prossima volta farò più attenzione.
volevo poi puntualizzare che sono solo un misero "profano" appassionato della materia e quindi ogni mia affermazione può essere affetta da errore cerco solo di dare una mano: in alcuni casi ci riesco in altri un po' meno in altri x niente.....in questo caso pensavo di poter essere d'aiuto ma mi sono sbagliato....
Grazie mille per la puntuale e utilissima correzione alla prox!!