Isomorfismo di prodotti tensoriali

[DarkSepiroth]

Salve gente,
vorrei proporvi questo quesito [orali di Geometria Analitica]

Dati $ V $,$ W $ spazi,
dimostrare che $ W \bigotimes V $ è isomorfo a $ V \bigotimes W $.

Vi spiego come ho pensato di procedere(visto che la domanda era da risolvere senza l'uso di basi esplicite):

per il teorema universale dei prodotti tensori, dato $ U $ spazio, esiste un'applicazione bilineare esiste il tensore $ \bigotimes V \times W \to V \bigotimes W $ (rispettivamente $ W \times V \to W \bigotimes V $) tale che per ogni $ \phi : V \times W \to U $ (e da $ W \times V \to U $) esiste ed è unica $ \omega : V \bigotimes W \to U $ (rispettivamente $ \omega : W \bigotimes V \to U $) che concide nei valori di arrivo con $ \phi $.

Ora : $ W \times V $ è isomorfo a $ V \times W $ (come si può formalizzare lo scambio di ogni coppia per esibire l'isomorfismo?), il tensore manda basi in basi dunque è un isomorfismo. La mia idea è concludere con una catena di isomorfismi che fanno commutare il diagramma nel senso:

$ W \bigotimes V \to W\times V \to U \to V \times W \to V \bigotimes W $.
Mi manca la formalizzazione del terzo isomorfismo...come concludere? thanx.

[EvaristeG]

Non è più semplice fare così ?
$ v_1,\ldots, v_n\qquad w_1,\ldots,w_m $ siano basi di V,W; allora è noto che
$ T=\{t_{i,j}=v_i\otimes w_j\} $ i=1,..,n e j=1,..,m è una base del prodotto tensoriale $ V\otimes W $ mentre $ S=\{s_{j,i}=w_j\otimes v_i\} $ con i=1,...,n e j=1,...,m è una base di $ W\otimes V $.
Definiamo quindi
$ \sigma:V\otimes W\to W\otimes V $ definendola sulla base T, a valori espressi nella base S : $ \sigma(t_{i,j})=s_{j,i} $. Ora, tale applicazione è definita in modo unico sul primo spazio ed ha come immagine tutto il secondo spazio; inoltre se ne costruisce l'inversa. Quindi fine.
Ovviamente tale applicazione non è canonica, in quanto dipende dalle due basi scelte, ed anzi non c'è speranza di costruirla canonica (o universale, o come vuoi), almeno mi pare.

[DarkSepiroth]

Già, anche io l'avevo fatta cosi, ma l'idea che sta alla base dell'altro procedimento (che poi è quella suggerita dal prof all'orale) è di non usare le basi per la costruzione...per questo si è un pò complicato il discorso...

[EvaristeG]

Beh, se non vuoi usare le basi, il tuo procedimento sembra corretto. Ti manca solo di osservare (o dimostrare, se vuoi) che $ (v,w)\mapsto (w,v) $ è un isomorfismo lineare (ovviamente è bigettivo... ti basta la linearità, che però è abbastanza ovvia).

[DarkSepiroth]

Il passaggio attraverso lo spazio $ U $ in realtà non è necessario nella costruzione, l'esistenza di $ U $ giustifica il teorema universale.
Allora proviamo cosi:

$ V \times W $ è isomorfo a $ V \bigotimes W $ (e analogamente $ W \times V $ a $ W \bigotimes V $) tramite il tensore $ \bigotimes $, che manda basi in basi, fra spazi della stessa dimensione, ed è quindi iniettivo dunquye una bigezione(per ogni $ (i,j) $ , $ (v_{i},w_{j}) \mapsto (v_{i} \otimes w_{j} $), ed esiste perciò il suo inverso.
Formalizziamo il passaggio intermedio:
$ V \times W $ è isomorfo a $ W \times V $ tramite la funzione $ \varphi : V \times W \to W \times V $ , con $ \varphi (v,w) = (w,v) $.
Infatti , $ \varphi $ è lineare sulle coppie infatti per ogni $ \lambda_{i} $
$ \varphi (\lambda_{1 } (v_{1}, w_{1})) + \lambda_{2} (v_{2}, w_{2})) = \lambda_{1} \varphi (v_{1},w_{1}) + \lambda_{2} \varphi (v_{2}, w_{2}). $.
Inoltre $ \varphi $ è surgettiva, perchè per ogni coppia $ (w,v) $appartenente a $ W \times V $ esiste una coppia $ (v,w) $ appartenente a $ V \times W $ ad essa corrispondente. Essendo $ \dim (W \times V) = \dim (V \times W) $, $ \varphi $ è una bigezione, quindi un isomorfismo di spazi.
Dunque, considerando il diagramma complessivo, seguiamo tre isomorfismi di spazi, $ V \bigotimes W \mapsto V \times W \mapsto W \times V \mapsto W \bigotimes V $. La composizione di tre isomorfismi è un isomorfismo. Quindi ho finito, giusto?

[EvaristeG]

Eh no ... $ V\times W $ non è isomorfo a $ V\otimes W $ tramite $ (v,w)\mapsto v\otimes w $ in quanto questa è una applicazione BIlineare, non lineare e quindi non è isomorfismo tra spazi vettoriali : l'immagine di k(v,w) è $ k^2v\otimes w $.
I due spazi sono isomorfi scegliendo due basi, ma non in maniera naturale. Se proprio vuoi lasciar fuori basi e tutto, puoi definire $ f(v\otimes w)=w\otimes v $ sui tensori di rango 1 e poi estendere per linearità, ma in realtà equivale a fissare una base dei due prodotti tensore.

[DarkSepiroth]

Già, c'è il 'piccolo particolare' del tensore. [Il fatto è che non li abbiamo fatti molto, quindi ho qualche problema proprio per questo]...si comunque a questo punto direi proprio che conviene passare alle basi, per evitare questo inconveniente...