1997 interi che si sommano

[piever]

(non so se è teoria dei numeri o combinatoria, in caso si può spostare, comunque lo posto perché è simpatico...)

Each vertex of a regular 1997-gon is labeled with an integer, so that the sum of the integers is 1. We write down the sums of the first k integers read counterclockwise, starting from some vertex (k=1,2,..,1997). Can we always choose the starting vertex so that all these sums are positive? If yes, how many possible choices are there?

Fonte: French Mathematical Olympiad 1997

Buon lavoro!

[genius88]

traduzione?(se era in francese visto che la gara è francese lo capivo meglio )

[SkZ]

Ogni vertice di un 1997-gono regolare e' etichettato con un intero e la loro somma e' 1. Scriviamo le somme dei primi k numeri letti in senso antiorario a partire da un vertice a scelta.
Possiamo scegliere sempre il vertice di partenza cosi' che tutte le somme siano positive?
Se si', quante possibili scelte abbiamo?

mi chiedo: strettamente positive o anche zero? (1996 0 e un 1)
se i numeri sono posti ben raggruppati (ovvero separati: i positivi da una parte, in negativi dall'altra) c'e' almeno un modo. poi dipende se i numeri devono essere diversi tra loro o possono ripetersi e se le somme possono essere nulle (998 -n e 998 n alternati e un 1).

[piever]

Tutte le somme strettamente positive.

Sapendo che la somma dei 1997 valori è 1 e che tutti i valori sono interi, tutti gli altri dati sono ininfluenti.

Comunque la dimostrazione è bella ma facile, almeno nei primi giorni sarebbe meglio se chi la trova posta in invisibile.

Ciao!

[SkZ]

date le direttive direi che piu' che i numeri in se' conviene considerare i gruppi di numeri positivi/negativi consecutivi (quindi si riduce a 2n elementi)

[auricola]

1Prendo un qualsiasi vertice iniziale x, e chiamo S_{x_y} la somma parziale da x(non incluso) fino al vertice y incluso. Ora, supponiamo che ci siano più vertici i tali che S_{x_i} è minima. Chiamiamo y* quello più lontano dal vertice x, considerando il senso antiorario. Ora, chiamiamo z un qualsiasi vertice tale che z è più lontano di y* da x. Abbiamo allora che S_{y*_z}=S_{x_z}-S_{x_y*}. Sapendo che S_{x_y*} è minima, abbiamo necessariamente positiva S_{y*_z}.
Ora mettiamo invece che z sia meno lontano di y* rispetto a x. Abbiamo che S_{y*_z}=1-S_{z_y*} (1). Inoltre S_{z_y*}=S_{x_y*}-S_{x-z}. E siccome S_{x_y*} è minima, S_{z_y*} è <=0. Allora per la (1), S_{y*_z} è positiva. Perciò esiste almeno un y* che abbia tutte le somme parziali positive.

[auricola]

2 Supponiamo che esistano un y e un z che soddisfano. Allora S_{y_z} è >=1, e lo stesso vale per S_{z_y}. Tuttavia, S_ {y_z}+ S_{z_y}=1, e questo è contradditorio, quindi il vertice buono è unico.