$ $3x^2+x = 4y^2 + y$ $
non abbia altre soluzioni che $ $x=y=0$ $... però non sono sicuro...
Diofantea II grado in x e y
Diofantea II grado in x e y
Avrei bisogno di una conferma... a me risulta che la seguente equazione, negli interi positivi:
$ $3x^2+x = 4y^2 + y$ $
non abbia altre soluzioni che $ $x=y=0$ $... però non sono sicuro...
$ $3x^2+x = 4y^2 + y$ $
non abbia altre soluzioni che $ $x=y=0$ $... però non sono sicuro...
...
Se non ho sbagliato i conti, ne ha un bel po'...
Riscrivi come 4(3(x+y)+1)(x-y)=(x+y-x+y)^2, ovvero, poste u=x+y, v=x-y, come 4(3u+1)v=(u-v)^2.
Ora, se p|v, p|(u-v), quindi p|u, quindi p non divide 3u+1. Per cui v e 3u+1 sono quadrati entrambi : v=k^2, u=(h^2-1)/3, da cui
(2hk)^2=[(h^2-3k^2-1)/3]^2
E dunque, togliendo i quadrati, una delle due seguenti deve essere verificata
i) 6hk=h^2-3k^2-1 ==> (2h)^2-3(h+k)^2=1
ii) 6hk=1+3k^2-h^2 ==> (2h)^2-3(h-k)^2=1
E queste due sono equazioni di Pell nel caso più semplice (a^2-kb^2=1 con k non un quadrato perfetto), di cui si conoscono le soluzioni; tali soluzioni (a,b) permettono di ottenere (h,k) e da loro (u,v) e infine (x,y). Essendo tutti cambi lineari di coordinate, si può sempre tornare indietro e ottenere da diverse soluzioni dell'eq. di pell, diverse soluzioni dell'eq di partenza, che quindi ne ha infinite (quest'ultima osservazione è un po' a caso e non mi stupirei se fosse sbagliata)...