rapporto tra medie

[SkZ]

Tempo fa mi posi il problema di trovare la differenza tra la media delle magnitudini di una stella e la sua magnitudine media. Prima di continuare, un po' di teoria.
La magnitudine si calcola con la formula di Pogson $ ~ m_\nu=-2.5\log{I_\nu}+C $. Qualla che in fotometria serve e' la magnitudine media $ ~ m_{\langle\rangle} $, ossia la magnitudine calcolata con la media delle intendita' luminose rilevate, non la media delle magnitudini $ ~ \langle m\rangle $ calcolate in base alle singole misurazioni.
Definisco, persemplicita' espositiva, $ ~ \langle x\rangle $ come megia aritmetica delle x e $ ~ \langle x\rangle_G $ come media geometrica delle x.
a conti fatti si ha $ \displaystyle m_{\langle\rangle}-\langle m\rangle = -2.5\left( \log{\langle I\rangle} - \langle \log{I}\rangle\right)=-2.5\log{\frac{\langle I\rangle}{\langle I\rangle_G}} $
Ora la mia domanda, esiste gia' calcolato in letteratura il rapporto tra la media aritmatica e quella geometrica di un gruppo di dati con funzione di distribuzione $ ~ \phi $, ovvero il valore della media geometrica dei dati in base alle caratteristiche della funzione di distribuzione (valor medio, FWHM o deviazione standard)?
dato che i dati fotometrici seguono la statistica di Poisson, ho provato a considerare la sua approssimazionea alla gaussiana e, dato che risulta molto piccata (i valori medi dei conteggi fotometriche spesso superano le migliaia di unita') ho usato lo sviluppo in serie del logaritmo attorno al picco della distribuzione in base al fatto che $ \displaystyle \log{x}=\log{\bar{x}+(x-\bar{x})} = \log{\bar{x}} + \log{\left( 1 + \frac{x-\bar{x}}{\bar{x}} \right)} $.
Pero' il risultato e' una sommatoria con i coefficienti che ha il brutto vizio di divergere! Anche se devo dire che le prove empiriche di applicazione fatte sembrano accordarsi molto bene.
Nessuno sa se esiste una soluzione "ufficiale"?
Appena ho di nuovo sotto mano il quaderno coi conti fatti, li posto.
Grazie

[SkZ]

Io avevo pensato cosi' con $ ~ \phi(x;\bar{x},\sigma) $ funzione di distribuzione delle x normalizzata
$ \displaystyle \ln{\langle x\rangle}-\langle\ln{ x}\rangle = \ln \left( \int_{-\infty}^{+\infty} x\phi(x;\bar{x},\sigma)\textrm{d}x \right) - \int_{-\infty}^{+\infty} \ln{x}\phi(x; \bar{x}, \sigma)\textrm{d}x = $

Riscrivo l'equazione come avevo detto nel post precedente
$ \displaystyle =\ln{\bar{x}} - \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\ln{\bar{x}} + \ln{\left( 1 + \frac{x-\bar{x}}{\bar{x}} \right)}\right]\phi(x;\bar{x}, \sigma)\textrm{d}x $ $ \displaystyle = - \int_{-\infty}^{+\infty} \ln{\left( 1 + \frac{x-\bar{x}}{\bar{x}} \right)}\phi(x; \bar{x}, \sigma)\textrm{d}x = $
Pongo $ \displaystyle s=\frac{x-\bar{x}}{\bar{x}} $, "scarto relativo", e $ \displaystyle \sigma_s= \frac{\sigma}{\bar{x}} $
$ \displaystyle =- \int_{-\infty}^{+\infty} \ln{\left( 1 + s \right)}\phi(s; 0, \sigma_s)\textrm{d}s = $
Ora condidero la $ ~ \phi(x;\bar{x}, \sigma) $ tipo una gaussiana con $ ~ \bar{x} \gg \sigma $ quindi con un picco molto stretto lontano dallo zero in termini di $ ~ \sigma $. Quindi pongo (supposto $ ~ k\in\mathbb{N}^* $)
$ \displaystyle \simeq - \int_{-k\sigma_s}^{+k\sigma_s} \ln{\left( 1 + s \right)}\phi(s; 0, \sigma_s)\textrm{d}s = $
ove considero che per $ ~ ]-\infty ;-k\sigma_s] $ e $ ~ [k\sigma_s; +\infty [ $ la funzione vada cosi' velocemente a zero che l'integrale sui due intervalli sia trascurabile. (e qui forse casca l'asino) E suppongo $ ~ k \sigma_s < 1 $
A questo punto sostituisco l'integrale con il suo sviluppo di McLaurin (fino al termine 2N)
$ \displaystyle = \int_{-k\sigma_s}^{+k\sigma_s} \sum_1^{2N} _j\frac{(-1)^j}{j}s^j \phi(s; 0, \sigma_s)\textrm{d}s = \sum_1^{2N} _j\frac{(-1)^j}{j} \langle s^j \rangle $
Se supponiamo che $ ~ \langle s^j \rangle $ siano come quelli di una gaussiana (dato che mi interessa il caso di valori distribuiti secondo una poissoniana con valore medio molto grande) (anche questo punto e' dubbio), otteniamo
$ \displaystyle \ln{\langle x\rangle}-\langle\ln{ x}\rangle = \ln{\frac{\langle x\rangle}{\langle x\rangle_G}} = \sum_1^{N} _n\frac{(2n-1)!}{n!2^n} \left( \frac{\sigma^2}{\langle x\rangle^2} \right)^n $$ \displaystyle = \sum_1^{N} _n\frac{(2n-1)!!}{2n} \left( \frac{\sigma^2}{\langle x\rangle^2} \right)^n $
Il fatto e' che non mi pare che la serie converga per N tendente all'infinito.
Comunque ho fatto delle prove e per distribuzioni piatte (numeri casuali generati dalla calcolatrice) e distribuzioni gaussianiche simil-poissoniane sembra tornare gia' con N=1 o 2

Curiosita': per distribuzioni poissoniane si ha $ ~ \sigma^2=\langle x\rangle $, quindi
$ \displaystyle \ln{\langle x\rangle}-\langle\ln{ x}\rangle = \ln{\frac{\langle x\rangle}{\langle x\rangle_G}} = \sum_1^{N} _n\frac{(2n-1)!}{n!2^n} \frac{1}{\langle x\rangle^n} $$ \displaystyle = \sum_1^{N} _n\frac{(2n-1)!!}{2n} \frac{1}{\langle x\rangle^n} $