Mi è stato posto questo problema ma non riesco a risolverlo in modo soddisfacente...
Date le due funzioni reali di variabile reale $ f(x) $ e $ g(x) $, infinitesime per $ x\to0 $, e sapendo che $ f(x) = o(x^2) $ e $ g(x) = o(x) $ per $ x\to0 $ determinare se $ f(x) $ ha ordine di infinitesimo uguale, inferiore o superiore a $ g^2(x) $ per $ x\to0 $. Si supponga che $ f(x) $ e $ g(x) $ siano esattamente (e non almeno) $ o(x^2) $ e $ [o(x)] $ rispettivamente.
Grazie
G.
Ordini di infinitesimo...
Ordini di infinitesimo...
Ultima modifica di esaurito il 22 feb 2013, 20:46, modificato 1 volta in totale.
mmm...
per "esattamente" sarebbe,tipo,$ f (x) = o (x^2) $,ma $ f(x) $ non è o piccolo di $ x^a $ per $ a > 2 $ ,ho capito bene?
In tal caso,vediamo che se $ f(x) = \frac{x^2}{ln x} $,$ g(x) = \frac {x}{ln x} $ le funzioni rientrano nell'ipotesi,e $ \displaystyle \frac{g^2(x)}{f(x)} = \frac{x^2}{(ln x)^2} \frac{ln x}{x^2} = \frac{1}{ln x} $ tende a zero.
D'altra parte,rientrano nell'ipotesi anche le funzioni $ f(x) = \frac{x^2}{(ln x)^3} $ e $ g(x) = \frac{x}{ln x} $,e si ha che$ \displaystyle \frac{f(x)}{g^2(x)} = \frac{x^2}{(ln x)^3} \frac{(ln x)^2}{x^2} = \frac{1}{ln x} $ tende a zero.
Dunque,se ho capito bene il problema,non si può determinare...
per "esattamente" sarebbe,tipo,$ f (x) = o (x^2) $,ma $ f(x) $ non è o piccolo di $ x^a $ per $ a > 2 $ ,ho capito bene?
In tal caso,vediamo che se $ f(x) = \frac{x^2}{ln x} $,$ g(x) = \frac {x}{ln x} $ le funzioni rientrano nell'ipotesi,e $ \displaystyle \frac{g^2(x)}{f(x)} = \frac{x^2}{(ln x)^2} \frac{ln x}{x^2} = \frac{1}{ln x} $ tende a zero.
D'altra parte,rientrano nell'ipotesi anche le funzioni $ f(x) = \frac{x^2}{(ln x)^3} $ e $ g(x) = \frac{x}{ln x} $,e si ha che$ \displaystyle \frac{f(x)}{g^2(x)} = \frac{x^2}{(ln x)^3} \frac{(ln x)^2}{x^2} = \frac{1}{ln x} $ tende a zero.
Dunque,se ho capito bene il problema,non si può determinare...
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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Le ipotesi sono corrette e la conclusione mi pare convincente.
D'altra parte però qualcuno mi ha suggerito che invece:
$ \displaystyle{\frac{\left[o(x)\right]^2}{o(x^2)} = \frac{o(x)o(x)}{o(x^2)} = \frac{o(x)}{o(x^2)}o(x) = \frac{o(1)}{o(x)}o(x) = o(1) = 0 } $
e ciò sembrerebbe indicare che il problema è determinato e $ \left[o(x)\right]^2 $ è ordine di infinitesimo inferiore rispetto a $ o(x^2) $.
Cosa non quadra secondo te?
D'altra parte però qualcuno mi ha suggerito che invece:
$ \displaystyle{\frac{\left[o(x)\right]^2}{o(x^2)} = \frac{o(x)o(x)}{o(x^2)} = \frac{o(x)}{o(x^2)}o(x) = \frac{o(1)}{o(x)}o(x) = o(1) = 0 } $
e ciò sembrerebbe indicare che il problema è determinato e $ \left[o(x)\right]^2 $ è ordine di infinitesimo inferiore rispetto a $ o(x^2) $.
Cosa non quadra secondo te?
Questo passaggio qui,non so se si possa fare...esaurito ha scritto: $ \displaystyle \frac{o(x)}{o(x^2)}o(x) = \frac{o(1)}{o(x)}o(x) } $
e anche ammesso che si possa,chi ci dice che $ \frac{o(1)}{o(x)}o(x) = o(1) $?
(vedi $ \frac{1}{ln x} \frac{1}{x ln x} x (ln x)^2 $ ... ora però sono in uno stato d'alterazione non indifferente,non vorrei aver scritto cavolate
)
Ultima modifica di thematrix il 28 set 2006, 19:08, modificato 1 volta in totale.
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$ \displaystyle \frac{o(x)}{o(x^2)}o(x) = \frac{o(1)}{o(x)}o(x) $ equivale a $ \displaystyle \frac{[o(x)]^2}{o(x^2)} = \frac{o(x^2)}{o(x^2)} $ che e' non poco discutibile
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
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Per SkZ: scusa ma non ho capito il tuo post...
Per thematrix: siamo sicuri che (ad esempio) $ \displaystyle{f(x) = \frac{x^2}{\log^3(x)}} $ sia esattamente $ o(x^2) $?
$ \displaystyle{\lim_{x\to0} \frac{x^2}{\log^3(x)} \frac{1}{x^a}} $ mi pare faccia $ \infty $ per $ a \geq 5 $, mentre per $ 2<a<5 $ (da buon ingegnere arrugginito) non so calcolare il limite...
Per thematrix: siamo sicuri che (ad esempio) $ \displaystyle{f(x) = \frac{x^2}{\log^3(x)}} $ sia esattamente $ o(x^2) $?
$ \displaystyle{\lim_{x\to0} \frac{x^2}{\log^3(x)} \frac{1}{x^a}} $ mi pare faccia $ \infty $ per $ a \geq 5 $, mentre per $ 2<a<5 $ (da buon ingegnere arrugginito) non so calcolare il limite...
prendendo $ \epsilon $ arbitrariamente piccolo
$ \displaystyle{\lim_{x\to0} \frac{x^2}{\log^3(x)} \frac{1}{x^{2 + 3\epsilon}}} $ = $ \displaystyle{\lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^2} \frac{1}{\log(x) x^{\epsilon}} \frac{1}{\log(x) x^{\epsilon}} \frac{1}{\log(x) x^{\epsilon}} $
ciascuno dei tre fattori a destra tende a $ \infty $,quindi in questo caso direi anche il limite...
$ \displaystyle{\lim_{x\to0} \frac{x^2}{\log^3(x)} \frac{1}{x^{2 + 3\epsilon}}} $ = $ \displaystyle{\lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^2} \frac{1}{\log(x) x^{\epsilon}} \frac{1}{\log(x) x^{\epsilon}} \frac{1}{\log(x) x^{\epsilon}} $
ciascuno dei tre fattori a destra tende a $ \infty $,quindi in questo caso direi anche il limite...
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Hmm farò il matematico : gli ordini di infinitesimo sono qualcosa di quanto mai strano. Se utilizziamo come "funzioni campione" le funzioni $ f_\alpha(x)=x^{\alpha} $ $ \alpha\in\mathbb{R}^+ $ (per gli infinitesimi con $ x\to 0 $), otteniamo queste simpatiche anomalie :
(i) La funzione $ g(x)=\dfrac{1}{\log(x)} $ non è infinitesima rispetto a nessuna $ f_\alpha $, ovvero $ g(x)=o(f_\alpha(x)) $ non è verificato per nessun valore di alfa>0 :
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0}g(x)/f_\alpha(x)=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x^{\alpha}\log(x)}} $$ \displaystyle{=\lim_{x\to0}\dfrac{x^{-\alpha}}{\log(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{-\alpha x^{-\alpha-1}}{x^{-1}}=\lim_{x\to0}-\alpha x^{-\alpha}=\infty} $
(ii) Per ogni $ \beta>0 $ la funzione $ g^\beta(x) $ non è infinitesima rispetto a nessuna $ f_\alpha $.
(iii) Due funzioni $ h(x), k(x) $ per cui valga $ h(x)=o(f_t) $ $ k(x)=o(f_t) $ e tali che per ogni $ s>t $ non siano o piccolo di $ f_s $, non sono necessariamente asintotiche.
Infatti, si considerino $ h(x) $ e $ k(x)=h(x)/\log(x) $. Allora si ha
$ \lim \dfrac{h(x)}{k(x)}=\lim \log(x)=\infty $
ma se
$ \lim\dfrac{h(x)}{x^t}=0 $, allora
$ \lim\dfrac{k(x)}{x^t}=\lim\dfrac{h(x)}{x^t\log(x)}=0 $
e se
$ \lim\dfrac{h(x)}{x^{t+\epsilon}}=\infty $ per ogni epsilon, allora
$ \lim\dfrac{h(x)}{x^{t+\epsilon}\log(x)}=\lim\dfrac{h(x)}{x^{t+\epsilon/2}}\dfrac{1}{x^{\epsilon/2}\log(x)}=\infty $.
Questo dà l'idea di quanto brutti siano gli ordini di infinitersimo : le funzioni del tipo $ f_{\alpha,\beta}=\dfrac{x^\alpha}{\log^\beta(x)} $ hanno tutte comportamento asintotico diverso (non ce ne sono due tra di loro asintotiche in 0). Quindi potrebbero fornire una nuova famiglia di funzioni campione ... ma allora basterebbe considerare le funzioni del tipo $ f_{a,b,c}=\dfrac{x^a}{\log^b(x)\log^c(\log(x))} $ e così via, ottenendo sempre funzioni a due a due non asintotiche in 0.
Inoltre, c'è il fatto (ii) che mostra quanto gli infinitesimi siano lontani dal comportamento dei numeri reali : se considero due numeri reali h,k, trovo un intero n tale che hn>k. Per gli infinitesimi non succede : ogni potenza negativa del logaritmo va a zero più lentamente di ogni potenza positiva di x. (insomma, si potrebbe parlare ora di campi archimedei e cose simili, ma anche no...)
Commenti dotti a parte, queste sono le osservazioni su cui si basa l'esercizio proposto. Spero siano utili.
(i) La funzione $ g(x)=\dfrac{1}{\log(x)} $ non è infinitesima rispetto a nessuna $ f_\alpha $, ovvero $ g(x)=o(f_\alpha(x)) $ non è verificato per nessun valore di alfa>0 :
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0}g(x)/f_\alpha(x)=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x^{\alpha}\log(x)}} $$ \displaystyle{=\lim_{x\to0}\dfrac{x^{-\alpha}}{\log(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{-\alpha x^{-\alpha-1}}{x^{-1}}=\lim_{x\to0}-\alpha x^{-\alpha}=\infty} $
(ii) Per ogni $ \beta>0 $ la funzione $ g^\beta(x) $ non è infinitesima rispetto a nessuna $ f_\alpha $.
(iii) Due funzioni $ h(x), k(x) $ per cui valga $ h(x)=o(f_t) $ $ k(x)=o(f_t) $ e tali che per ogni $ s>t $ non siano o piccolo di $ f_s $, non sono necessariamente asintotiche.
Infatti, si considerino $ h(x) $ e $ k(x)=h(x)/\log(x) $. Allora si ha
$ \lim \dfrac{h(x)}{k(x)}=\lim \log(x)=\infty $
ma se
$ \lim\dfrac{h(x)}{x^t}=0 $, allora
$ \lim\dfrac{k(x)}{x^t}=\lim\dfrac{h(x)}{x^t\log(x)}=0 $
e se
$ \lim\dfrac{h(x)}{x^{t+\epsilon}}=\infty $ per ogni epsilon, allora
$ \lim\dfrac{h(x)}{x^{t+\epsilon}\log(x)}=\lim\dfrac{h(x)}{x^{t+\epsilon/2}}\dfrac{1}{x^{\epsilon/2}\log(x)}=\infty $.
Questo dà l'idea di quanto brutti siano gli ordini di infinitersimo : le funzioni del tipo $ f_{\alpha,\beta}=\dfrac{x^\alpha}{\log^\beta(x)} $ hanno tutte comportamento asintotico diverso (non ce ne sono due tra di loro asintotiche in 0). Quindi potrebbero fornire una nuova famiglia di funzioni campione ... ma allora basterebbe considerare le funzioni del tipo $ f_{a,b,c}=\dfrac{x^a}{\log^b(x)\log^c(\log(x))} $ e così via, ottenendo sempre funzioni a due a due non asintotiche in 0.
Inoltre, c'è il fatto (ii) che mostra quanto gli infinitesimi siano lontani dal comportamento dei numeri reali : se considero due numeri reali h,k, trovo un intero n tale che hn>k. Per gli infinitesimi non succede : ogni potenza negativa del logaritmo va a zero più lentamente di ogni potenza positiva di x. (insomma, si potrebbe parlare ora di campi archimedei e cose simili, ma anche no...)
Commenti dotti a parte, queste sono le osservazioni su cui si basa l'esercizio proposto. Spero siano utili.