Siano $ r_1 , r_2 , r_3 $ contenute in $ P^4 (K) $ rette proiettive a due a due sghembe e non contenute in un iperpiano. Dimostrare che esiste ed è unica una retta $ s $ contenuta in $ P^4 (K) $ incidente $ r_1 , r_2 , r_3 $.
Vi scrivo la mia idea...non so se è giusta:
Diamo per buono (dimostrato) che date $ r_1 , r_2 $ contenute in $ P^3 (K) $ sghembe e un punto $ P $ esterno ad esse, esiste ed è unica $ s $ passante per il punto e incidente entrambe.
Poiche qui lo spazio proiettivo è $ P^4 (K) $, osserviamo che per la formula di Grassmann, $ \dim (r_1 \cup r_2) = \dim (r_1) + \dim (r_2) - \dim ( r_1 \cap r_2 ) = 3 $ poichè le rette $ r_1 $ e $ r_2 $ sono sghembe. L'idea è che mentre nel primo caso $ P $ può essere scelto in $ P^3 (K) \setminus ( r_1 \cup r_2 ) $, in questo caso, per poter applicare il lemma dimostrato, possiamo scegliere $ P $ in $ M = P^4 (K) \setminus (r_1 \cup r_2 ) $, e $ \dim M = 1 $. Ora, sappiamo che $ \forall $ punto $ P $ esterno alle due rette $ r_1 , r_2 $ esiste ed è unica $ s $. Ma al variare di $ P $ si ottiene uno spazio di dimensione 1 in $ P^4 (K) $ (infatti per ipotesi le tre rette non sono contenute in un iperpiano) dunque basta porre $ M = r_3 $, ed osservare che $ (M = r_3) \cap (r_1 \cup r_2) = \varnothing $ per costruzione, dunque $ r_3 \cap r_1 = \varnothing , r_3 \cap r_2 = \varnothing $, inoltre $ r_3 $ è unica poichè è l'unico sottospazio di dimensione 1 che completa $ (r_1 \cup r_2) $ a $ P^4(K) $.
[Geometria proiettiva]
Un poco più semplice (partendo dal tuo lemma in P^3) :
considera l'iperpiano $ H\subseteq\mathbb{P}^4(K) $ che contiene $ r_1,r_2 $; per ipotesi r_3 non sta in H e per Grassmann $ r_3\cap H=\{P\} $ .
Possiamo identificare H con $ \mathbb{P}^3(K) $ e quindi applicare il lemma in H, trovando $ s $ che passa per P e incide r_1,r_2. Tale retta è unica in H ed è necessariamente in H, essendo incidente a r_1 e r_2 (sempre per la formula di Grassmann).
Dimostrazione alternativa :
Sia $ H_i $ l'iperpiano che contiene $ r_j,r_k $ con $ \{i,j,k\}=\{1,2,3\} $; allora, poichè le rette non sono tutte nello stesso iperpiano, si avrà che i tre sono distinti. Se inoltre $ H_1\cap H_2\cap H_3=L $ con $ \dim(L)=2 $, allora si dovrà avere che $ L=H_i\cap H_j $ per ogni i,j distinti, da cui $ r_1\subset L,\ r_2\subset L, r_3\subset L $ (in quanto $ r_j\subset H_i\cap H_k $ per i,j,k diversi), ma questo è assurdo perchè se sono complanari sono incidenti. Questo mostra anche che non può succedere che $ H_i\cap H_j=H_i\cap H_k $ sempre perchè altrimenti due delle tre rette sarebbero complanari e quindi incidenti. Dunque, $ s=H_1\cap H_2\cap H_3 $ ha dimensione 1 e si ha che $ H_1\cap H2 $ contiene s e r_3, che quindi si intersecano essendo complanari e similmente si prova che s interseca anche r_1,r_2 ed è quindi la retta voluta; del resto, se una retta interseca $ r_i,r_j $ allora sta in $ H_k $ e quindi tale retta è unica.
considera l'iperpiano $ H\subseteq\mathbb{P}^4(K) $ che contiene $ r_1,r_2 $; per ipotesi r_3 non sta in H e per Grassmann $ r_3\cap H=\{P\} $ .
Possiamo identificare H con $ \mathbb{P}^3(K) $ e quindi applicare il lemma in H, trovando $ s $ che passa per P e incide r_1,r_2. Tale retta è unica in H ed è necessariamente in H, essendo incidente a r_1 e r_2 (sempre per la formula di Grassmann).
Dimostrazione alternativa :
Sia $ H_i $ l'iperpiano che contiene $ r_j,r_k $ con $ \{i,j,k\}=\{1,2,3\} $; allora, poichè le rette non sono tutte nello stesso iperpiano, si avrà che i tre sono distinti. Se inoltre $ H_1\cap H_2\cap H_3=L $ con $ \dim(L)=2 $, allora si dovrà avere che $ L=H_i\cap H_j $ per ogni i,j distinti, da cui $ r_1\subset L,\ r_2\subset L, r_3\subset L $ (in quanto $ r_j\subset H_i\cap H_k $ per i,j,k diversi), ma questo è assurdo perchè se sono complanari sono incidenti. Questo mostra anche che non può succedere che $ H_i\cap H_j=H_i\cap H_k $ sempre perchè altrimenti due delle tre rette sarebbero complanari e quindi incidenti. Dunque, $ s=H_1\cap H_2\cap H_3 $ ha dimensione 1 e si ha che $ H_1\cap H2 $ contiene s e r_3, che quindi si intersecano essendo complanari e similmente si prova che s interseca anche r_1,r_2 ed è quindi la retta voluta; del resto, se una retta interseca $ r_i,r_j $ allora sta in $ H_k $ e quindi tale retta è unica.
Del tuo post non mi convince questo :
$ \mathbb{P}^3(K)\setminus(r_1\cup r_2) $ è vuoto, se intendi l'unione come il più piccolo sottospazio che le contiene entrambe; altrimenti non è una cosa di cui puoi dire la dimensione (almeno non la dimensione "vettoriale").
Poi, usi invece che la stessa cosa in p^4 ha dimensione 1, ma non puoi sceglierlo : se intendi con unione lo span, $ M=\mathbb{P}^4\setminu(r_1\cup r_2) $ non è un sottospazio proiettivo e non contiene alcuna retta per intero, quindi poi non puoi scegliere di porre $ M=r_3 $ ... se invece intendi l'unione insiemistica, dovresti mostrare che puoi scegliere in quel complementare una retta ... anche se per r_3 è ovvio perchè è sghemba con le altre due.
Inoltre, quel "variare del punto P" non è ben chiaro in che senso vada inteso...e cosa sia che produce lo spazio di dimensione 1...
$ \mathbb{P}^3(K)\setminus(r_1\cup r_2) $ è vuoto, se intendi l'unione come il più piccolo sottospazio che le contiene entrambe; altrimenti non è una cosa di cui puoi dire la dimensione (almeno non la dimensione "vettoriale").
Poi, usi invece che la stessa cosa in p^4 ha dimensione 1, ma non puoi sceglierlo : se intendi con unione lo span, $ M=\mathbb{P}^4\setminu(r_1\cup r_2) $ non è un sottospazio proiettivo e non contiene alcuna retta per intero, quindi poi non puoi scegliere di porre $ M=r_3 $ ... se invece intendi l'unione insiemistica, dovresti mostrare che puoi scegliere in quel complementare una retta ... anche se per r_3 è ovvio perchè è sghemba con le altre due.
Inoltre, quel "variare del punto P" non è ben chiaro in che senso vada inteso...e cosa sia che produce lo spazio di dimensione 1...