se 65|p(n)

[pi_greco_quadro]

sia $ p(n)=5n^{13}+13n^5+9an $ si determini il minimo $ a $ intero positivo per cui

$ 65\mid p(n)\quad \forall n\in\mathbb N $.

Fonte (nazionali EIRE 2000)... ma non serve nemmeno sporcarsi le mani

[enomis_costa88]

$ P(n)=5n^{13}+13n^5+9an\equiv 0 \pmod {65} $
==>
$ 5n^{13}+13n^5+9an\equiv 0 \pmod 5 $
$ 5n^{13}+13n^5+9an\equiv 0 \pmod {13} $
==>
$ 13n^5+9an \equiv 13n+9an\equiv n(3-a) \equiv 0 \pmod 5 $
$ 5n^{13}+9an\equiv 5n+9an\equiv n(5+9a) \equiv 0 \pmod {13} $
==>
$ a\equiv 3 \pmod 5 $
$ 4a \equiv 5 \pmod{ 13} $ ==> $ a \equiv 11 \pmod{ 13} $
Inoltre:
$ 13*2 \equiv 1 \pmod 5 $
$ 5*8\equiv 1 \pmod{ 13} $
==>
$ a \equiv 13*2*3+5*8*11\equiv 63 \pmod {65} $
Quindi 63 è (suppongo) il minimo a.

[pi_greco_quadro]

Si anche se potevi farlo in maniera più facile sfruttando il fatto che $ (13,5)=1 $ da cui, guarda caso $ 65=13\cdot 5 $, poi il piccolo teorema di Fermat e quindi ti si semplificava un bel po' la vita non credi?? comunque la tua soluzione è giustissima... ciao ciao

[slash88]

tipo questa
$ \displaystyle 5n^{13}\equiv 5n \pmod {65} $e $ 13n^5\equiv 13n\pmod {65} $ da qui basta trovare che $ 65\mid n(9a+13+5) $ quindi $ 9(a+2)\equiv 0\pmod{65} $ quindi $ a=63 $