Divisione d'oro

Pigkappa · Messaggio da **Pigkappa** » 06 ott 2006, 22:19

Tre fratelli posseggono $ n $ pezzi d'oro, dal peso di 1, 2, 3, ..., n grammi. Per quali $ n $ i fratelli possono dividere equamente l'oro?

La mia soluzione è lunghina e un po' strana, ma penso ce ne siano di più veloci

hydro · Messaggio da **hydro** » 07 ott 2006, 11:05

mi sa che non ho ben capito il problema: se i grammi totali di oro sono $ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} $, e i fratelli sono 3, basta che $ n \not \equiv 1 \mod 3 $, perchè i grammi siano divisibili in parti (intere suppongo) uguali...

edriv · Messaggio da **edriv** » 07 ott 2006, 13:03

Eh, ma quei blocchi di 1,2,3,...,n grammi non li puoi spezzare.
Quindi magari la somma è divisibile per 3, ma non puoi ricomporre ciascuna parte usando quei pezzi. O almeno non è così immediato.

Pigkappa · Messaggio da **Pigkappa** » 07 ott 2006, 16:01

Ad esempio, per $ n=3 $, hai un blocco da 1, uno da 2 e uno da 3. Ma con questi tre blocchi non ce la fai a fare tre insiemi con 2 grammi d'oro ciascuno.

piever · Messaggio da **piever** » 07 ott 2006, 17:09

Uhm, carino: posto in invisibile una soluzione bruttina ma semplice.

Per qualsiasi valore a abbiamo che 6 palline di peso a, a+1, a+2, a+3, a+4,a+5 sono equamente ripartibili, con il seguente sistema a+(a+5)=(a+1)+(a+4)=(a+2)+(a+3)

Quindi se x palline sono equamente ripartibili, lo sono anche x+6. Escludendo x congruo a 1 o a 4, analizziamo le classi di resto modulo 6. n congruo a 0 e' ovviamente ripartibile. n congruo a 2 e' ripartibile se e solo se n>2 visto che n=2 non e' ripartibile, ma n=8 si. n congruo a 3 e' ripartibile se e solo se n>3 visto che n=3 non e' ripartibile, ma n=9 si. n congruo a 5 e' ripartibile.

Riassumendo l'oro puo essere equamente ripartito se e solo se n e': diverso da 2, diverso da 3 e non congruo a 1 modulo 3.

Pigkappa · Messaggio da **Pigkappa** » 07 ott 2006, 18:16

Sì, immagino andasse fatto così... Io in pratica sono partito modulo 3 e per arrivare in fondo ho fatto i salti mortali o quasi

dalferro11 · Messaggio da **dalferro11** » 08 ott 2006, 23:14

dico la risposta che secondo me è buona, ma non sono sicuro sia l'unica.
Per me n deve essere un multiplo di 6.
Che ne dite? ce ne sono altre di soluzioni?

Pigkappa · Messaggio da **Pigkappa** » 09 ott 2006, 21:34

dalferro11 ha scritto:dico la risposta che secondo me è buona, ma non sono sicuro sia l'unica.
Per me n deve essere un multiplo di 6.
Che ne dite? ce ne sono altre di soluzioni?

La risposta giusta è quella di piever, cioè n nella forma 3k e n nella forma 3k-1 con n maggiore di 4. n multiplo di sei rappresenta solo una parte di soluzioni