numeri ordinali e cardinali

[spellmaster]

ragazzi, ho un paio di domandine semplici semplici. i numeri naturali sono in corrispondenza biunivoca con determinati insiemi, i numeri ordinali, no? i numeri ordinali, però, non si limitano al finito, ed entriamo così nella zona degli ordinali infiniti, quali "aleph". un numero cardinale è il primo di tutti quei numeri ordinali in corrispondenza biunivoca con sè stesso, ora, la questione è questa:
1)se ho sbagliato in quello che ho detto sopra correggetemi perchè credo si capisca che nn ho le idee molto chiare in merito.
2)non capisco bene la definizione di numero ordinale,cioè,da quello che ho capito posso dire che "aleph zero" è un numero cardinale perchè è il primo cardinale infinito, mentre "aleph zero + 1" non lo è, giusto? ma allora il cardinale noto superiore a "aleph zero" è "2 elevato a aleph zero"? e "aleph zero + 1", "aleph zero + n" eccetera cosa sono? sono ordinali ma nn cardinali?
3)quindi i numeri cardinali sono numeri, NON insiemi, mentre i numeri ordinali sono insiemi NON numeri, giusto?

aiuto, grazie:)

[Marco]

ragazzi, ho un paio di domandine semplici semplici. i numeri naturali sono in corrispondenza biunivoca con determinati insiemi, i numeri ordinali, no?

No. I numeri naturali sono in corrispondenza biunivoca con gli ordinali $ < \omega $, non con tutti gli ordinali.

i numeri ordinali, però, non si limitano al finito, ed entriamo così nella zona degli ordinali infiniti, quali "aleph".

No. $ \aleph $ non è un ordinale, ma un cardinale. Le due cose sono diverse. Un ordinale è un rappresentante standard di tutti gli insiemi ben ordinati con un certo tipo d'ordine. Un cardinale è un rappresentante standard di tutti gli insiemi di una certa cardinalità.

un numero cardinale è il primo di tutti quei numeri ordinali in corrispondenza biunivoca con sè stesso

Di solito, si sceglie come cardinale il più piccolo ordinale di quella data cardinalità. Se si fa questa identificazione, allora i cardinali puoi vederli come una sottoclasse degli ordinali. Tuttavia, tale associazione è fuorviante (come la tua confusione dimostra).

Per fissare le idee, l'informazione di un ordinale è più fine di quella di un cardinale (infatti è più forte assegnare un tipo d'ordine che non una cardinalità) e se confondi le cose, butti via informazione (oppure, che è peggio, ne deduci di indebita).

non capisco bene la definizione di numero ordinale,cioè,da quello che ho capito posso dire che "aleph zero" è un numero cardinale perchè è il primo cardinale infinito, mentre "aleph zero + 1" non lo è, giusto?

Rischi dell'ambiguità di cui sopra. In aritmetica transfinita, le operazioni sugli ordinali non danno lo stesso risultato delle operazioni sugli ordinali.

Sui cardinali $ \aleph_0 = \aleph_0 + 1 $, quindi quest'ultimo è un cardinale.

Sugli ordinali, con l'identificazione standard, $ \aleph_0 = \omega $, da cui $ \aleph_0 + 1 = \omega + 1 $ che è un ordinale non identificato con nessun cardinale...

ma allora il cardinale noto superiore a "aleph zero" è "2 elevato a aleph zero"?

No. Si definisce come il cardinale successivo a $ \aleph_{\xi} $ come $ \aleph_{\xi+1} $, dove $ \xi $ è un ordinale. Quindi il cardinale superiore ad $ \aleph_0 $ è, per definizione, $ \aleph_1 $.

L'uguaglianza $ \aleph_1 = 2^{\aleph_0} $ è una proposizione non dimostrabile con gli assiomi standard, e, se la si prende come assioma, è nota come "Ipotesi del Continuo". In molte teorie, si prende come assioma una sua generalizzazione, che è l'"Ipotesi Generalizzata del Continuo" (o CGH, "Continuum Generalized Hypothesis").

e "aleph zero + 1", "aleph zero + n" eccetera cosa sono? sono ordinali ma nn cardinali?

Se li pensi nell'aritmetica ordinale, sì. Nell'aritmetic acardinale, no: sono tutti $ \aleph_0 $

quindi i numeri cardinali sono numeri, NON insiemi, mentre i numeri ordinali sono insiemi NON numeri, giusto?

No. I numeri cardinali sono insiemi. I numeri ordinali, sono insiemi ben ordinati.

Meglio?

[SkZ]

c'e' qualche bella dispensa in rete che spiega per bene queste cose per chi vuole ben approfondire?
Grazie

[MindFlyer]

Un buon libro che puoi cercare è il Jech: Set Theory.

[spellmaster]

si, chiaro, un errore che facevo era identificare $ \aleph $ con $ \omega $ , quindi alla luce delle tue spiegazioni mi rendo conto che anche le mie domande erano spesso ambigue, per esempio, se qui

i numeri ordinali, però, non si limitano al finito, ed entriamo così nella zona degli ordinali infiniti, quali "aleph"

avessi detto , invece di $ \aleph $ , $ \omega $ , allora la domanda sarebbe stata posta nel modo corretto, giusto?
oppure, in questo caso

"aleph zero + 1", "aleph zero + n" eccetera cosa sono?sono ordinali ma nn cardinali?

sarebbe stato più corretto scrivere "$ \omega + 1 $ , $ \omega + n $ eccetera cosa sono? sono ordinali ma non cardinali?"In questo caso la risposta sarebbe stata affermativa,nel senso che sono numeri ordinali, ma non sono in corrispondenza con nessun cardinale, o no? chiedo queste cose per vedere se effettivamente ho capito la differenza tra ordinali e cardinali, ciao!