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Si dimostri che per ogni intero $ \displaystyle n>0 $ esiste un multiplo di $ \displaystyle n $ che ha come cifre solo $ 0,1 $. Si dimostri anche che se $ \displystyle (n,10)=1 $ allora esiste un multiplo composto da soli $ 1 $.
Ciao ciao

Mi pare d’averlo già visto su forum.. comunque visto che non ricordavo la soluzione..

Se (n,10)=1:
$ 1\dots1 $ con i 1 =f(i)
esistono (per i cassetti) i>j t.c.:
$ f(i)\equiv f(j) \pmod n $
ovvero:
$ f(i-j)10^{j}\equiv 0 \pmod n $
quindi $ f(i-j)\equiv 0 \pmod n $.

Se $ n=a*2^i*5^j $ con (a,10)=1:
per quanto detto esiste f(k) t.c. a|f(k) quindi $ n|f(k)*10^{MAX(i,j)} $.

Buona serata, Simone.

Rilancio, dal WC 2006

Dimostrare che se $ 10 \nmid n $ esiste un multiplo di n che non contiene la cifra 0

@ simone tutto ok
@ sisifo: intendi comunque che il numero possa essere un multiplo qualsiasi e non composto da soli $ 0 $ e $ 1 $ vero?

qualsiasi numero che non contenga zeri. Ad es 123456789 va bene ma 1203343204 no.

Sisifo ha scritto:Rilancio, dal WC 2006: dimostrare che se $ 10 \nmid n $ esiste un multiplo di n che non contiene la cifra 0

Elementare, Watson: se $ \gcd(n,10) = 1 $, per ogni $ k \in \mathbb{N} $, esiste $ m \in \mathbb{N} $ tale che $ n \mid \sum_{i=0}^m 10^{ik} $. Sia quindi $ q = 2^p \cdot n $ (risp., $ q = 5^p \cdot n $). Banalmente $ q \mid 2^p \cdot \sum_{i=0}^m 10^{ik} $ (risp., $ q \mid 5^p \cdot \sum_{i=0}^m 10^{ik} $), se adesso $ m $ denota il numero delle cifre decimali significative di $ 2^p $ (risp., di $ 5^p $). Inoltre l'espansione decimale di $ 2^p \cdot \sum_{i=0}^m 10^{ik} $ (risp., $ 5^p \cdot \sum_{i=0}^m 10^{ik} $) non contiene alcuno zero.

Sisifo ha scritto:Rilancio, dal WC 2006 [...]

Giusto una curiosità: cos'è il WC?! Il mio acume mi suggerirebbe la fiera mondiale del gabinetto, ma non so perché... Mi convince poco. Dunque?

HiTLeuLeR ha scritto:

Sisifo ha scritto:Rilancio, dal WC 2006 [...]

Giusto una curiosità: cos'è il WC?! Il mio acume mi suggerirebbe la fiera mondiale del gabinetto, ma non so perché... Mi convince poco. Dunque?

Mi pare la corretta esegesi sia Winter Camp!

From Ponnamperuma's signature ha scritto:Sono scemo, pirla e pure cretino!... Ma la speranza è l'ultima a morire...

Benvenuto nel club! E grazie dell'informazione resa - a buon rendering.

HiTLeuLeR ha scritto:

From Ponnamperuma's signature ha scritto:Sono scemo, pirla e pure cretino!... Ma la speranza è l'ultima a morire...

Benvenuto nel club! E grazie dell'informazione resa - a buon rendering.

Devo dunque concludere che i frequentatori di questo forum sono possessori, oltre che di cultura matematica sterminata, anche di autostima prossima allo zero assoluto??!!

Ponnamperuma ha scritto: Devo dunque concludere che i frequentatori di questo forum sono possessori, oltre che di cultura matematica sterminata, anche di autostima prossima allo zero assoluto??!!

Assolutamente (no)! Traine piuttosto un insegnamento, se così ti pare: "che, in alcuni casi, anche le salviettine hanno qualcosa da dire". In quanto all'affermazione in rosso, c'è forse un Grothendieck fra gli utenti del forum? No, perché altrimenti la tua stima mi pare esageratamente fuori proporzione...

Va beh, era iperbolico... grazie per lo spunto su Grothendieck, ora ne so un briciolo in più...

Una stima per eccesso non è un eccesso, ma un eccesso di stima lo è ben oltre il dubbio.