Teorema su insiemi connessi

[Composition86]

Mi servirebbe dimostrare questo semplice teorema di analisi: si vuole dimostrare che se X è un insieme connesso allora $ \displaystyle (\forall x,y \in X)( \exists \pi(x,y)\subset X) $
Per far ciò si prende un $ \displaystyle x_0 \in X $ e un insieme $ \displaystyle A=(x \in X : \exists \pi(x,x_0) \subset X) $
Si vuole dimostrare che A coincide con X, in altre parole che:
1) A è non vuoto
2) A appartiene agli insiemi aperti di X
3) A appartiene agli insiemi chiusi di X

Sulla 1) non ci sono problemi.
Mi interessa solamente la 2), anche perchè la 3) dovrebbe essere simile, ma si sfrutta l'insieme complementare.

Dimostrare che A appartiene agli insiemi aperti di X significa che fissato un x in X allora $ \displaystyle (\exists r>0)(B(x,r)\subset A) $ e l'insieme A, per come è stato definito, è contenuto in X.
Fissato un y in tale sfera, esistono il segmento xy e la poligonale da x ad $ \displaystyle x_0 $ tutti contenuti in X, quindi esiste l'unione data dalla poligonale $ \displaystyle \pi(y,xo) \subset X $.

Bene, ora so che esiste questa poligonale, come la posso sfruttare per arrivare a dire che A è un aperto di X? Esiste qualche proprietà degli insiemi aperti che mi sfugge?

[Nonno Bassotto]

Intanto alcune precisazioni, anche per chi legge. Con $ \pi(x,y) $ Composition indica, se non ho capito male, una qualsiasi linea spezzata congiungente x a y.

Seconda precisazione: X è un sottoinsieme di $ \mathbb{R}^n $. Composition, tu lo dai per scontato, ma si può parlare di insiemi aperti e chiusi anche in ambito più generale che in $ \mathbb{R}^n $.

Terza precisazione: così come lo dici il risultato è falso. Quello che è vero è che dati due punti in un aperto connesso di $ \mathbb{R}^n $, puoi congiungerli con una poligonale tutta contenuta nell'aperto. Quindi se vuoi dimostrare la proprietà dovrai supporre che X sia anche aperto.

Altrimenti ci sono controesempi molto semplici, ad esempio X può essere una parabola in $ \mathbb{R}^2 $. Chiaramente non puoi andare da un punto all'altro muovendoti su poligonali. In questo caso però puoi andare da un punto all'altro muovendoti su un cammino continuo. Anche questa cosa però può essere falsa se non assumi che X sia aperto.

Un controesempio nel caso in cui X non sia aperto è il seguente. $ X \subset \mathbb{R}^2 $ è l'unione del grafico della funzione $ sen (1/x): \mathbb{R}_{+} \mapsto \mathbb{R} $ con il segmento verticale che va da (0,-1) a (0,1). Questo insieme è connesso, ma non puoi andare da un punto sul segmento ad un punto sul grafico muovendoti su un cammino continuo.

Prova a dimostrare ora il risultato assumendo che X sia aperto. Se hai problemi, chiedi pure.
Ciao

[Composition86]

Ok per le precisazioni, in effetti non ho tenuto conto del fatto che X è un aperto, proverò domani a dimostrare, grazie per l'aiuto.