salve a tutti... ho un piccolo problema sulla dimostrazione di questa formula:
3^(n-1) > n^2 per ogni n > o uguale 4
qualcuno potrebbe scrivermi i vari passaggi per la risoluzione???
grazie mille!!!
ps: ho l'esame il 26 per mate a biotecnologie e mi sarebbe molto utile...
GRAZIE!!!
Induzione per una disequazione
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Ponnamperuma
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- Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
- Località: Torino
Ciao! Suppongo sia una delle prime volte che capiti qua... quindi ti consiglio a nome degli aministratori una visitina alle sezioni di presentazione del Forum e in particolare alla sezione sul $ \LaTeX $!
Venendo al tuo esercizio... va dimostrato che $ 3^{n-1}>n^2, \forall n \in \mathbb {N}, n \geq 4 $.
Per n=4 funziona, supponendo che valga $ 3^{n-1}>n^2 $ si ha anche $ 3^{n-1}+2n+1>n^2+2n+1=(n+1)^2 $. Se riusciamo a dimostrare che $ 3^n>3^{n-1}+2n+1 $, allora per transitività abbiamo la tesi.
Ora, la tesi "ausiliaria" $ 3^n>3^{n-1}+2n+1 $ è equivalente a $ 2 \cdot 3^{n-1}>2n+1 $: dopo averla supposta vera, moltiplicando per tre ambo i membri, si ottiene $ 2 \cdot 3^n>3(2n+1)=6n+3 $, che, banalmente, è $ >2(n+1)+1=4n+3 $, visto che continua a essere $ n \geq 4 $. Dunque il passo n implica il passo n+1.
Traendo le concusioni si è dimostrato che $ 3^n>3^{n-1}+2n+1>(n+1)^2 $, da cui la tesi, c.v.d.
P.S.: Scusa la contorsione risolutiva, ma non sono riuscito a esprimere meglio il tutto... se hai domande, chiedi pure!
P.P.S.: Questo post andrebbe in Algebra!
Venendo al tuo esercizio... va dimostrato che $ 3^{n-1}>n^2, \forall n \in \mathbb {N}, n \geq 4 $.
Per n=4 funziona, supponendo che valga $ 3^{n-1}>n^2 $ si ha anche $ 3^{n-1}+2n+1>n^2+2n+1=(n+1)^2 $. Se riusciamo a dimostrare che $ 3^n>3^{n-1}+2n+1 $, allora per transitività abbiamo la tesi.
Ora, la tesi "ausiliaria" $ 3^n>3^{n-1}+2n+1 $ è equivalente a $ 2 \cdot 3^{n-1}>2n+1 $: dopo averla supposta vera, moltiplicando per tre ambo i membri, si ottiene $ 2 \cdot 3^n>3(2n+1)=6n+3 $, che, banalmente, è $ >2(n+1)+1=4n+3 $, visto che continua a essere $ n \geq 4 $. Dunque il passo n implica il passo n+1.
Traendo le concusioni si è dimostrato che $ 3^n>3^{n-1}+2n+1>(n+1)^2 $, da cui la tesi, c.v.d.
P.S.: Scusa la contorsione risolutiva, ma non sono riuscito a esprimere meglio il tutto... se hai domande, chiedi pure!
P.P.S.: Questo post andrebbe in Algebra!
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Ponnamperuma
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Aggiungo questa seconda soluzione, intuita, peraltro, dallo stesso follett.
Supponendo vero $ 3^{n-1}>n^2 $ e moltiplicando per 3 si ottiene $ 3^n>3n^2 $. Resta da provare che $ 3n^2>(n+1)^2 $, che sviluppando e riordinando un po' diventa $ 2n(n-1)>1 $, il che è sempre vero, per $ n \geq 4 $: infatti i due fattori del membro di sinistra sono sempre $ \geq 3 $, dunque il loro prodotto eccede sicuramente 1..., c.v.d.
Questa soluzione tra l'altro è anche parecchio più sintetica della prima...
Ciao!
Supponendo vero $ 3^{n-1}>n^2 $ e moltiplicando per 3 si ottiene $ 3^n>3n^2 $. Resta da provare che $ 3n^2>(n+1)^2 $, che sviluppando e riordinando un po' diventa $ 2n(n-1)>1 $, il che è sempre vero, per $ n \geq 4 $: infatti i due fattori del membro di sinistra sono sempre $ \geq 3 $, dunque il loro prodotto eccede sicuramente 1..., c.v.d.
Questa soluzione tra l'altro è anche parecchio più sintetica della prima...
Ciao!