Volume poliedri regolari

[Alien]

Scusate avevo messo un post scontato sulle aree... intendevo dire i volumi:

Qualcuno mi dimostra comesi calcolano i volumi dei poliedri platonici (in particolare dodecaedro ed icosaedro)?

E come si fa con i poliedri semiregolari stellati e archimedei?

[Marco]

Sketch per il dodeca:

Una proprietà del dodecaedro è che le diagonali delle facce sono gli spigoli di cinque cubi inscritti nel dodecaedro.

Se usi questo fatto, sai subito quanto vale il raggio della sfera circoscritta.

Con un po' di trigonometria del pentagono, si sa anche quanto vale il raggio del cerchio circoscritto ad una faccia. [R']

A questo punto, con Pitagora trovi il raggio [r] della sfera inscritta (il triangolo rettangolo ha come ipotenusa R e come cateti R' e r).

A questo punto è fatta: se congiungi ogni vertice del dodeca con il centro, fromi dodici piramidi a base pentagonale e altezza r. Il resto sono conti con tante radici di cinque. Noiosi, ma fattibili.

[MindFlyer]

Con un trucchetto simile a quello del dodecaedro (ma un po' più complicato) si risolve anche l'icosaedro.

Anche nell'icosaedro si può inscrivere un cubo, unendo i centri di 8 facce opportunamente scelte.
Trovare lo spigolo del cubo è facile: considera un pentagono regolare diviso in 5 triangolini isosceli con vertice nel centro del pentagono. Lo spigolo del cubo è pari alla distanza dei baricentri di 2 triangolini non adiacenti, che si calcola usando un paio di volte Talete.
Ora che hai lo spigolo del cubo, puoi calcolare il raggio della sfera inscritta all'icosaedro come metà della diagonale del cubo (una diagonale del cubo unisce i centri di 2 facce opposte, ed è ortogonale ad esse).
Dato il raggio, calcoli agevolmente il volume dell'icosaedro come somma di 20 tetraedrini uguali.

[Marco]

Io per l'icosa ne ho trovata una diversa; non l'avevo postata perché, a parte un infimo dettaglio, è sostanzialmente quella che trovate anche su Mathworld. Comunque...

Fissa un vertice, che chiamiamo il Polo Nord. Il vertice opposto sarà il Polo Sud. Gli altri dieci vertici giacciono su due piani, che chiamerò Tropico del Cancro e del Capricorno, rispettivamente.

I vertici sul Tropico del Cancro stanno su un pentagono di lato 1. Il Polo Nord dista dal Tropico del Cancro x.

x può essere ricavato con Pitagora dove x è un cateto, 1 è l'ipotenusa e l'altro cateto è il raggio del cerchio circoscritto al pentagono.

Ora vogliamo la distanza tra i due Tropici, che chiamo y. Proiettiamo i cinque vertici sul Tropico del Cancro sull'altro Tropico. Sono sui vertici di un decagono regolare inscritto nella circonferenza circoscritta al pentagono di lato 1, quindi si sa amche il lato di questo decagono (chiamiamolo z).

y si trova con Pitagora, dove y è un cateto, 1 è l'ipotenusa e z è l'altro cateto.

A questo punto, il raggio della sfera inscritta è x + y/2 e da lì è facile calcolare il volume.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Per trovare il volume del dodecaedro puoi anche fare così:

In anzitutto devi sapere che unendo il centro del dodecaedro con ciascun vertice ottieni 12 piramidi con base la faccia pentagonale e altezza il raggio della sfera inscritta al dodecaedro o la metà dell'altezza del dodecaedro.
A questo punto ti rimane da trovare l'altezza H del dodecaedro e con un po' di passaggi geometricoi e algebrici si trova che è due volte l'apotema del pentagono più il raggio della circonferenza circoscritta al pentagono:

$ \displaystyle H = l \sqrt {\frac{5 + 2 \sqrt {5}} 5} + l \sqrt {\frac{5 + \sqrt {5}} {10}} = l \sqrt {\frac{25 + 11 \sqrt {5}} {10}} $

Quindi come già detto il volume sarà:

$ \displaystyle V = 12 \cdot \frac{1} 3 \cdot A_p \cdot \frac{H} 2 = 2 \cdot \frac{l^2} 4 {\sqrt {25 + 10 \sqrt {5}}} \cdot l \sqrt {\frac{25 + 11 \sqrt {5}} {10}} $

da cui dopo una serie di calcoli deriva:

$ \displaystyle V = \frac{l^3} 4 ({15 + 7 \sqrt {5}}) $

[MindFlyer]

ti rimane da trovare l'altezza H del dodecaedro e con un po' di passaggi geometricoi e algebrici si trova che è due volte l'apotema del pentagono più il raggio della circonferenza circoscritta al pentagono

Quali passaggi?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

ti disegni la pianta del dodeca poi lavori con geometria analitica sulle proiezioni e gli angoli, sovrapponendo due faccie adiacentiad trovi la proiezione di in lato su un piano orizzontale e sopendo la lungezza del lato trovi una parte dell'altezza con pitagora, poi sommando ad essa l'altra parte ottenuta anchessa con pitagora (utilizzando l'altezza di una faccia pentagonale e la sua proiezione su in piano orizzontale) si ottiene l'H intera del dodeca che poi dimezzata dà l'altezza delle 12 piramidi a base pentagonale

[MindFlyer]

Dai Gabriel, proponi qualcosa di geometria solida.. Il quesito sulla tua firma era carinissimo!!

[Marco]

O Gabriel, il problema della tua firma [click] dà in tre balletti il raggio della sfera circoscritta all'icosaedro. Chi lo vede?