Ciao ragazzi..posso sottoporre alla vostra attenzione un esercizio di analisi Matematica II...
L'esercizio è il seguente:
TROVARE MAX E MIN SU
E={(x,y,z) : x^2 + y^2 - z^2 <= 0 , 0 <= z <= 2}
di f(x,y,z)=x+y-z^2
Ringrazio tutti quelli che mi daranno una mano..
ps:mi potete spiegare anche il criterio che si usa per suddividere il vincolo in dimensioni??
ps2:potreste il metodo di parametrizzazione del vincolo?..grazie ancora...
Esercizio di Analisi II :twisted:
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MindFlyer
date le equazioni conviene dare un'occhiata con le coordinate cilindriche $ ~ (\rho,\phi,z) $
considerato che $ ~z\ge 0 $, abbiamo
$ ~ E=\{(\rho,\phi,z) : z\geq\rho , z\in[0;2] \} $ ovvero $ ~ E=\{(\rho,\phi,z) : \rho\leq z\leq 2 \} $ che e' un cono rovesciato
$ ~ f(\rho,\phi,z)=\sqrt{2}\rho\sin{(\phi+\frac{\pi}{4})}-z^2 $ ovvero $ ~ f(\rho,\phi,z)=(\sqrt{2}\rho\sin{(\phi+\frac{\pi}{4})})+(-z^2) $
per dare una soluzione senza calcoli, il minimo assoluto lo trovi minimizando le due parti della funzione, quindi $ ~\rho=z=2,\; \phi=-\frac{3\pi}{4}\quad f = -2 (2 + \sqrt{2} ) $
inoltre $ ~ f(\rho,\phi,z)=\sqrt{2}\rho\sin{(\phi+\frac{\pi}{4})} - z^2 /leq z \sqrt{2} \sin{(\phi+\frac{\pi}{4})} - z^2\leq \frac{1}{2} $
$ z \sqrt{2} \sin{(\phi+\frac{\pi}{4})} - z^2 $ e' massimo per $ ~ z = \frac{1}{\sqrt{2}} $ quindi direi che a occhio che il massimo si ha per $ ~\rho=z=\frac{1}{\sqrt{2}},\; \phi=\frac{\pi}{4}\quad f = \frac{1}{2} $
Per una soluzione migliore consiglio i moltiplicatori di Lagrange
considerato che $ ~z\ge 0 $, abbiamo
$ ~ E=\{(\rho,\phi,z) : z\geq\rho , z\in[0;2] \} $ ovvero $ ~ E=\{(\rho,\phi,z) : \rho\leq z\leq 2 \} $ che e' un cono rovesciato
$ ~ f(\rho,\phi,z)=\sqrt{2}\rho\sin{(\phi+\frac{\pi}{4})}-z^2 $ ovvero $ ~ f(\rho,\phi,z)=(\sqrt{2}\rho\sin{(\phi+\frac{\pi}{4})})+(-z^2) $
per dare una soluzione senza calcoli, il minimo assoluto lo trovi minimizando le due parti della funzione, quindi $ ~\rho=z=2,\; \phi=-\frac{3\pi}{4}\quad f = -2 (2 + \sqrt{2} ) $
inoltre $ ~ f(\rho,\phi,z)=\sqrt{2}\rho\sin{(\phi+\frac{\pi}{4})} - z^2 /leq z \sqrt{2} \sin{(\phi+\frac{\pi}{4})} - z^2\leq \frac{1}{2} $
$ z \sqrt{2} \sin{(\phi+\frac{\pi}{4})} - z^2 $ e' massimo per $ ~ z = \frac{1}{\sqrt{2}} $ quindi direi che a occhio che il massimo si ha per $ ~\rho=z=\frac{1}{\sqrt{2}},\; \phi=\frac{\pi}{4}\quad f = \frac{1}{2} $
Per una soluzione migliore consiglio i moltiplicatori di Lagrange
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