Esercizio
Siano $ S $ e $ T $ insiemi. Provare che risulta:
$ P(S) \cup P(T) = P(S \cup T) \Leftrightarrow S \subseteq T $ o $ T \subseteq S $
$ \Rightarrow $
$ \forall X \subseteq S \Rightarrow X \in P(S) \Rightarrow X \in P(S) \cup P(T) $ ma per ipotesi $ P(S) \cup P(T) = P(S \cup T) \Rightarrow X \in P(S \cup T) \Rightarrow X \subseteq S \cup T $
da qui in poi non riesco ad andare avanti. Non so neanche se valutare le due tesi separatamente (come ho fatto) o altro....
Accetto suggerimenti
io farei in questo modo:
(tieni sempre presente che per dimostrare un "se e solo se" devi dimostrare l'implicazione in tutti e due i sensi)
1) $ S \subseteq T $ o $ T \subseteq S $ $ \implies P(S) \cup P(T) = P(S \cup T) $
DIM: sia wlog $ T \subseteq S $. Allora $ S \cup T=S $. Pertanto $ P(S \cup T)=P(S) $. Ma è anche, ovviamente, $ P(T) \subseteq P(S) \implies P(S) \cup P(T)=P(S) $ e la tesi è facilmente provata.
2) $ P(S) \cup P(T) = P(S \cup T) \implies S \subseteq T $ o $ T \subseteq S $
Ragioniamo per assurdo, supponiamo quindi che S e T siano distinti. Allora
$ \exists s \in S $ t.c. $ s \not \in T $
$ \exists t \in T $ t.c. $ t \not \in S $
Prendiamo quindi l'insieme $ V= \{ s,t \} $. E' chiaro che $ V \subseteq (S \cup T) $, pertanto $ V \in P(S \cup T) $. Ma V non può appartenere a $ P(S) \cup P(T) $, poichè questo vorrebbe dire che $ V \in S $ o $ V \in T $, il che è chiaramente impossibile, per come è stato costruito V. Allora i due insiemi $ P(S) \cup P(T) $ e $ P(S \cup T) $ contengono almeno un elemento diverso, quindi non sono uguali e questo è in contraddizione con l'ipotesi.
