(che bello poter usare la tua figura
)
considero i triangoli $ PCB_2 $ e $ PBC_2 $:
abbiamo $ \frac{B_2C}{C_2B}=\frac{B_1C}{C_1B}=\frac{PC}{PB} $
e poi abbiamo
$ \angle PCB_2=\angle C_1CB_1-2 \angle B_1CA=\angle C_1CA-\angle ACB_1 $
$ \angle PBC_2=\angle B_1BC_1-2 \angle C_1BA=\angle B_1BA-\angle ABC_1 $
quindi $ \angle PCB_2=\angle PBC_2 $ (si lo so c'è una questione di orientamento, ma il segno meno ci importa poco stavolta)
e quindi i triangoli $ PCB_2 $ e $ PBC_2 $ sono simili, da cui $ \frac{PB_2}{PC_2}=\frac{PC}{PB} $
ora, il triangolo $ PCB_2 $ si ottiene dal triangolo $ PBC_2 $ tramite una rotazione (più un omotetia) che porta $ PC $ in $ PB $,e questa trasformazione porta anche $ PB_2 $ in $ PC_2 $, quindi $ \angle B_2PC_2=\angle CPB $.
dato che $ \frac{PB_2}{PC_2}=\frac{PC}{PB} $ e $ \angle B_2PC_2=\angle CPB $, la tesi è dimostrata(e usando solo angoli e similitudini).
ciao ciao
